Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn: Toán - Trường Thcs Bích Hòa

phòng gD & ĐT thanh Oai Đề thi học sinh giỏi lớp 9
 TRƯỜNG THCS BÍCH HềA Năm học 2014 - 2015
đề chính thức
 Môn: Toán 
 ( Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề)
Cõu 1: ( 6 điểm ). 
Cho biểu thức: 
 a/ Rỳt gọn A
 b/ Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A đạt giỏ trị nguyờn
 c/ Tớnh giỏ trị của A với .
Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn cú 3 chữ số sao cho : 
 với n là số nguyờn lớn hơn 2.
Cõu 2: ( 4 điểm ).
Giải phương trỡnh sau: 
Cho là ba số thỏa món: và . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Cõu 3: ( 3 điểm ).
 1) Tìm các nghiệm nguyờn của phương trỡnh : x2 + xy + y2 = x2y2 
 2) Cho a, b và c là cỏc số thực khụng õm thỏa món . 
 Chứng minh rằng .
Cõu 4: ( 6 điểm ). 
Cho O là trung điờ̉m của đoạn thẳng AB. Trờn một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuụng gúc với AB. Trờn tia Ax lấy điểm C, trờn tia By lấy điểm D sao cho 
gúc COD = 900. Kẻ OH vuụng gúc với CD tại H.
	a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường trũn tõm O đường kớnh AB;
	b) Chứng minh ;
	c) Nờu cách xác định vị trớ điểm C trờn tia Ax để diện tớch tam giỏc COD bằng diện tớch tam giỏc AHB.
Cõu 5: ( 1 điểm ). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 
—————————————– Hết ——————————————–
 Người ra đề Người duyệt đề
 éặng Ngọc Trỡnh
 phòng gD ĐT thanh Oai 
 TRƯỜNG THCS BÍCH HềA 
hướng dẫn chấm môn toán 9
 Năm học: 2014 - 2015
Cõu
Điểm
Cõu 1.1
(4 ð)
a/Cho biểu thức A= 1- 
ĐK: x
A= 1-
A=1-
A=1-
b/ Tỡm xđể A nguyờn.
Ư(2)
Do 
Vậy x=0 thỡ A cú giỏ trị nguyờn.
c/Với x= 
x=-7
. Vậy A
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
Cõu 1.2
(2 ð)
(1)
Viết được (2)	
Từ (1) và (2) ta cú 99 ( a –c ) = 4n – 5 
=> 4n – 5 + 99 (3) 
Mặt khỏc : 
100 
	 (4) 
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
 Vậy số cần tỡm 	
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu 2.1
(2đ)
Cõu 2.2
(2ð)
--------
Cõu 3.1
(2ð)
 (ĐK: )
Đặt 
Thay vào phýừng trỡnh ðó cho ta cú: 
ã Với (thỏa món)
ãVới (thỏa món)
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất .
----------------------------------------------------------------------------------------------
Từ ( vỡ )
Xột tớch 
Lần lượt thay hoặc hoặc vào biểu thức P ta đều được 
----------------------------------------------------------------------------------------------
*Với ẵxẵ³ 2 và ẵyẵ³ 2 ta có: 
ị x2y2 ³ 2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2³ x2 + y2 + 2ẵxyẵ> x2 + y2 + xy
* Vậy ẵxẵÊ 2 hoặc ẵyẵ Ê 2 
- Với x =2 thay vào phương trình ta được 4 + 2y + y2 = 4y2
hay 3y2-2y -4 =0 ị Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =-2 thay vào phương trình ta được 4 - 2y + y2 = 4y2
hay 3y2+2y -4 =0 ị Phương trình không có nghiệm nguyên
- Với x =1 thay vào phương trình ta được 1 + y + y2 = y2
hay y = -1 
- Với x =-1 thay vào phương trình ta được 1 - y + y2 = y2
hay 1- y = 0 ị y =1
- Với x = 0 thay vào phương trình ta được y =0
Thử lại ta được phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là:
(0; 0); (1, -1); (-1, 1)
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
--------
0,25ð
0,25ð
0,25ð
0,25ð
0,25ð
0,25ð
0,25ð
0,25ð
Cõu 3.2
(1ð)
Học sinh phỏt biểu và CM bất đẳng thức phụ sau:
- Với x; y là cỏc số thực dương bất kỳ ta cú: (1). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y.
Thật vậy: Vỡ x; y là cỏc số thực dương theo BĐT Cụsi ta cú
- Áp dụng BĐT (1) ta cú:
 (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trờn ta được:
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 4
(6đ)
Cõu 5
(1 ð)
0,5
a) Vỡ nờn Ax, By là tiếp tuyến của đường trũn (O)
Gọi M là trung điờ̉m của CD => OM là đường trung bình của hình thang ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1)
Lại có: OM là trung tuyờ́n thuụ̣c cạnh huyờ̀n của tam giác vuụng COD => OM = MC => tam giác OMC cõn tại M => góc COM = góc MCO (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc ACO = góc MCO
=> tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyờ̀n - góc nhọn)
=> OH = OA => H thuụ̣c đường tròn tõm O
=> CD là tiờ́p tuyờ́n của đường tròn tõm O đường kính AB
1,5
b) Theo tính chṍt hai tiờ́p tuyờ́n cắt nhau ta có AC = CH; BD = DH
CH.DH = OH2 => 
c) => ( HK AB; K thuụ̣c AB )
( Vì tam giác COD đụ̀ng dạng với tam giác BHA)
=> OH = HK => K trùng O => H là điờ̉m chính giữa của nửa đường tròn O => AC = vọ̃y điờ̉m C thuụ̣c tia Ax sao cho AC = thì .
----------------------------------------------------------------------------------------------
Biến đổi phương trình
 x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0(x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= 0
 (y+4)(y-1) =-(x+y)20
 - 4 y1 vì y thuộc Z nên y 
Sáu cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
V ỡ x; y nguyờn dương nờn x=1 và y=3
1,5
0,5
1,0
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25