Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
 Bài 1( 6điểm)
Cho biểu thức: P = : 
Tìm ĐKXĐ của P và rút gọn P
Tính giá trị của P với x =; y = 
 2. 
 a) Tính giá trị biểu thức: 
 A = 
 b) So sánh B = với 
 Bài 2( 3 điểm)
Chứng minh rằng:
m = - là nghiệm của phương trình x3 + 3x - 4 =0
 b) Cho a = 111 ; b = 10005
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
 Chứng minh là số tự nhiên.
 Bài 3: ( 4 điểm)
Tìm các số nguyên x,y sao cho : 3x2 + 4y2 = 6x +13
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
Bài 4: ( 5 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B,C ). Trên 
AQ lấy điểm P (P khác A,Q ). Hai đường thẳng qua P song song với AC ,AB lần lượt cắt AB,AC tại M,N
Chứng minh rằng: 
 Xác định vị trí điểm Q để 
Bài 5: (2 điểm) Cho x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = 1
 Tính giá trị của x2009 + y2011 + z2013
 Hết .
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 đ)
1.a) ĐKXĐ: x>0; y>0 ; x y
P=: 
 =  
 b) Tính được x = ; y = 
 Thay x, y vào biểu thức p tính được
 P = 
 = 2
2. Chứng minh được 
 a) Áp dụng công thức trên thay k lần lượt từ 1 đến 99 ta được
A == 1- 
 b) Ta có 
 Từ đó ta có B > 
0, 0,5 đ
 0,5 đ
 1,5đ
 0,25đ
 0,25đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 1,0 đ 
 0,75
 0,25đ
Bài 2
(3đ)
Tính được m3 = 4 – 3m 
 Suy ra m3 + 3m - 4 =0
 Kết luận
 b) Ta có a = 111 ; 
 2008 chữ số 1 
b = 10005 = 10000 + 5 = 102008 +5 = (9a+1) +5 =9a+6
 2007 chữ số 0 2008chữ số 0
 ab +1 = a( 9a +6) +1= ( 3a+1 )2
 Nên = 3a +1
 Vì a N nên 3a +1 N (Đpcm)
 1,0đ
 0,25đ
 0,25đ
1, 
 0,5đ
 0,5đ
0,5 đ
Bài 3
( 4đ)
Biến đổi 3x2 + 4y2 = 6x +13 
 3(x-1)2 = 16 – 4y2 = 4(4 – y2 )
Vì VT 0 nên VP 0 suy ra (4 – y2 ) 0 
 ..Suy ra y 
Thay lần lượt các giá trị của y ta tìm được các cặp nghiệm sau:
(x,y) 
b)A = nênA2 =( vì x2+y2+z2 =1)
 = B +2 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
Tương tự 
Cộng vế với vế ta được 2B 2
 Do đó A2 = B +2 3 nên A 
 Vậy Min A = x=y=z= 
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
Bài 4
(5 đ)
a) Gọi H = PN BC, I = MP BC
 A
 M N
 P
 B H Q I C
Ta có = 1 (1)
Mặt khác áp dụng định lí Ta let ,ta có :
 (2)
 MI AC nên (3)
Vì ABC đông dạng với PHI (g,g)
 mà (4)
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra
= .= (đpcm)
b)Từ câu a ta có:
 CI.BH.IH = 
Mặt khác áp dụng Cô si cho 3 số không âm ta có:
CI.BH.IH 
Dấu “=” xảy ra CI = IH =HB Khi đó Q là trung điểm của BC
0,5đ
0,25đ
1,0đ
1.0đ
0,5đ
0,25đ
1,0đ
0,5đ
Bài 5
(2 đ)
 Từ x +y +z =1 suy ra ( x +y +z )2 =1 
 .Nên xy +yz +xz =0 (1)
Chứng minh được 
 x3 + y3 + z3 -3xyz = ( x +y +z).( x2 + y2 + z2 –xy –yz –xz)
 Do đó 3xyz = xy +yz +xz (2)
 Từ (1) và (2) ta có 3xyz =0 x=0 hoặc y=0 hoặc z =0
+) Nếu x =0 thì yz=0 y =0 thì z=1
 z =0 thì y=1
 Vậy (x,y,z) = (0,0,1); (0,1,0)
 Tương tự xét với y=0, z=0 thì trong hai số còn lại có một số bằng 0 và một số bằng 1
 Vậy trong mọi trường hợp thì có hai số bằng 0 và một số bằng 1
 Do đó A =1
0,5đ
0,25đ
1,0 đ
0,25 đ
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 	 Năm học 2013 – 2014
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài 150 phút
( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 ( 6 điểm )
 Cho P = 
Rút gọn P.
Tìm để P = 1
Tìm để P2 > P
Tìm các giá trị nguyên của sao cho P cũng là số nguyên 
Bài 2 (4 điểm )
 Giải phương trình
( 
 = 
Bài 3 ( 3 điểm )
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Bài 4 ( 5 điểm )
 Cho đường tròn đường kính AB = 2R và hai tiếp tuyến A; Bvà một tiếp tuyến thứ ba với M là tiếp điểm cắt A ở C, cắt Bở D.
So sánh diện tích tam giác COD và diện tích tứ giác ACDB
Tìm giá trị nhỏ nhất của hai diện tích trên
Chứng minh AC.BD = R2
Bài 5 ( 2 điểm )
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn thỏa mãn điều kiện
 Chứng minh rằng tam giác ABC cân
 .HẾT
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 	Năm học 2013 – 2014
 Môn thi : Toán
Bài
 Nội dung
 Điểm
Bài 1
 ( 6 đ )
 a. Tìm đúng điều kiện : ≥ 0 ; ≠ 1
 P = 
 = 
 b. P = 1 ó P = 1 hoặc P = -1
 ó (loại)
 Hoặc 
 ó TXĐ 
 c. P2 > p ó P2 – p > 0 ó P( P – 1 ) > 0 
 ó P 1 
 +) P > 1 ó ó > 1
 +) P < 0 ó -1 < 0 ó < 1
 Kết hợp 0 ≤ < 1 
 Vậy P2 > p ó > 1 hoặc 0 ≤ < 1
 ó ≥ 0 và ≠ 1
 d. P = 1 + z 
 Do đó z 
 Và - 1 Ư(2) 
 Vậy = 0 ; 4 ; 9
0,25 đ
 0,75 đ
 0,5 đ
0,25 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,25 đ
 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
 0,25 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
Bài 2
 ( 4 đ )
 a. ( 
 ó (1)
 Đặt 
 (1) ó ( y + 1)(y – 1 ) – 24 = 0
 ó y2 – 25 = 0
 ó 
 ó 
 Chứng tỏ 
 Vậy nghiệm của phương trình : 
 b. Ta có 
 pt trở thành : 
 ó 
0,25 đ
 0,25 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 3 
 (3 điểm )
 Ta có : = 0
 ó 
 ó 
 Các nghiệm : ( -2; 0 ) , ( 0 ; -2 )
1 đ
1 đ
1 đ
Bài 4
 ( 5 điểm) 
Bài 5
( 2 điểm)
 a. ∆ OAC = ∆ OMC (cạnh huyền góc nhọn )
 ∆ OBD = ∆ OMD (cạnh huyền góc nhọn ) )
 Vậy S∆ OCD = S∆ CBD
 b. Ta có S∆ OCD =OM. CD
 Mà OM = R không đổi. Vậy S∆ OCD nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất 
 Vậy CD nhỏ nhất khi là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
 AC và BD. Tức là CD = AB = 2 R
 Khi đó S∆ OCD = R . 2R = R2
 Khi đó ACDB là hình chữ nhật
 Vậy SACDB = 2R2
 c. Ta có OM2 = MC . MD 
 Nhưng MC = CA, MD = BD, OM = R
 Vậy AC . BD = R2	 M
 C D 
 M 
 O
 o
 A O B
 Từ 
 ó 4 sinBsinC = (sinB + sin C)2
 ó ( sinB – sinC )2 = 0
 ó sinC = sin B
 ó Góc C = Góc B
 Vậy ∆ ABC cân
0,5 đ
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Đề chính thức
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2013-2014
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5 điểm)
Cho 
a. Rút gọn A
b. Tìm x để A = 6
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Tìm x, y, z biết:
Bài 3: (3đ) 
1. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
M = a3 + b3
2. Chứng minh rằng nếu: 
a + b + c = abc thì ta có: 
Bài 4: (1điểm)
Chứng minh rằng: Số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1.
Bài 5: (5 điểm)
Cho r ABC tiếp xúc với 3 cạnh BC, CA và AB lần lượt tại D, E và F. Đặt DB = x, DC = y, AE = z.
a. Tìm một hệ thức liên hệ giữa x, y, z.
b. Chứng minh rằng: AB. AC = DB.DC
Bài 6: (2 điểm)
 Một tam giác có độ dài ba cạnh là: a; b; c thỏa mãn:
(a + b – c)3 + (b + c – a)3 + (c + a – b)3 = a3 + b3 + c3.
Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
****************Hết**********************HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1:
a/ ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1	(0,5 điểm)
 	(2,5 điểm)
Trả lời đúng ..........	(0,5 điểm)
b/ A = 6 	(0,25 điểm)
.......
x = 1 (loại) 	(1 điểm)
Vậy không có giá trị nào của x để A = 6 (0,25 điểm)
Câu 2:
1, VP = x2 – 18x + 16 = (x – 4)2 + 2 ≥ 2
Dấu “=” xảy ra x = 4 (1)	(0,75 điểm)
VT2 =
VT = 2
Dấu “=” xảy ra x = 4 (2) 	(0,75 điểm)
Từ (1) và (2) nghiệm của phương trình là: x = 4 	(0,5 điểm)
2, ĐKXĐ: x ≥ 2008, y ≥ 2009, z ≥ 2010	(0,5 điểm)
	(1 điểm)
x = 2009	
	y = 2010	(0,5 điểm)
	z = 2011
Bài 3:
1, Từ a + b = 1 b = 1 – a M = a3 + (1 – a)3 (0,5 điểm)
M = 3 (a2 – 2a + ) + 
 	(0,5 điểm)
Dấu “=” xảy ra 
Vậy min 	(0,5 điểm)
a/ Từ
4. Gọi m2 là số chính phương lẻ (m N)	
Vì m là số lẻ m = 2n + 1
 m2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 4m (n + 1) + 1
Vì n (n + 1) là 2 số nguyên liên tiếp nên n (n +1) 2 4m (n + 1) 8
m2 = 4n (n + 1) + 1 chia cho 8 dư 1
5. vẽ hình đúng: 0,5 điểm
a. Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau: BD = BF, AE = AF, CD = CE 
BC = x + y; AC = y + z; AB = x + z 	(1 điểm)
BC2 = AB2 + AC2 (x + y)2 = (x + z)2 + (y + z)2 .............
 xy = z. (x + y +z) (1) 	(1 điểm)
b. Gọi r là bán kính, I là tâm của đường tròn nội tiếp rABC
 SABC = AB. AC = BC.r + CA.r + AB.r = (x + y + z).r (2)	(1 điểm)
Tứ giác AEIF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) lại có AE = AF
 AEIF là hình vuông AE = EI Z = r (3) . Từ (1) (2) (3)
 AB. AC = 2 x.y AB.AC = 2 DB.DC (đfcm)	 (1,5 điểm)
Bài 6:
Đặt 	x = b + c – a
	y = c + a – b	( x, y, z > 0)
z = a + b – c
	(0,5 điểm)
Ta có:
(a + b – c)3 + (b + c – a)3 + (c + a – b)3 = a3 + b3 + c3 
 	8 (x3 + y3 + z3) = (x + y)3 + (y + z)3 +(z + x)3
 	2 (x3 + y3 + z3) = xy2 + y2z + yz2 + z2x + zx
 	(x3 + y3 – x2y – xy2) + (y3 – z3 – y2z – yz2) + ( z3 + x3 – z2x – xz2) = 0
	(x + y) (x – y)2 + (y + z) (y – z)2 + (z + x) (z – x)2 = 0	 (1 điểm)
x = y = z ( vì x, y, z > 0)
 A = b = 0 Tam giác đã cho là tam giác đều	 (0,5 điểm)
 ĐỀ thi HỌC SINH GIỎI
 NĂM HỌC: ..............
Câu I. (4,0 điểm): 
	Cho biểu thức P = 
Rút gọn P
Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.
Câu 2. (5,0 điểm)
	a) Giải phương trình: 
	b) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn: 
	c) Tìm số tự nhiên n để là số nguyên tố.
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
	 i. 
	 ii. 	
 Chứng minh rằng: .
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ.
Câu 4. (6,0 điểm)
 1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T.
a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng PQ2 = QR.ST.
 2. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 108o. Chứng minh là số vô tỉ.
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Cho ba số dương a, b và c thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	b) Giả sử là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn . Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 số bằng 2012?
-------------------Hết------------------
(Đề thi gồm 01 trang)
®¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
Câu I. (4,0 điểm): 
	- ĐKXĐ : 
1. Với thì 
P = =
 = = 2®
2. Với thì P = = 
 giá trị nhỏ nhất của P = 4 x = 4 ( thỏa mãn đkxđ) 2®
Bài 2:
	a) Ta có:
Đặt , pt trở thành: 0,5®
 0,5®
Với 
Vậy pt có nghiệm duy nhất . 0,5®
	b) 
· Nếu thay vào hệ ta được: (hệ vô nghiệm) 0,5®
· Nếu , đặt hệ trở thành: 0,5®
 Suy ra và 
	 (do )
 Suy ra .
Vậy hệ pt có nghiệm . 0,5®
	c) 
· XÐt th× A = 1 kh«ng phải sè nguyªn tố; 0,5®
· XÐt th× A = 3 lµ sè nguyªn tố. 0,5®
· XÐt n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 0,5® 
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 - 1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1 > 1 nªn A là hợp số. Số tự nhiªn cần t×m n = 1. 0,5®
Bài 3:
	a) 
Từ ii) suy ra: 
Kết hợp với i) suy ra: 0,5®
 0,5®
Nếu .
 Từ các BĐT 0,5®
Suy ra: , kết hợp với (1) suy ra 
Do đó: (mâu thuẫn với đk )
Vậy . 0,5®
	b) 
 là số hữu tỷ 
 0,5®
. Thế vào (1) ta được
Giải pt tìm được (loại) và 
Với . 
Vậy 0,5®
Bài 4:
1. 
 0,25®
M
a) Gọi giao điểm PC với AB là M. 
DCPA ~ DCAM (g.g) 0,5®
DCPB ~ DCBM (g.g) 
Suy ra: (do CA = CB)
 0,25®
Ta có: (không đổi) 0,5®
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi P đối xứng với C qua O. 0,5®
b) Do tam giác OAB cân, nên (1)
Do nên (2)
Tương tự, cũng có (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra cân. 0,5®
Theo chứng minh trên, và . 
Do đó 
Suy ra (4) 
Do 0,5®
nên 
mà suy ra 
 (do tam giác PSQ cân tại P)
Do đó (5) 0,5®
Từ (4) và (5) suy ra 
B
Từ đó, do nên điều phải chứng minh. 0,5®
2. 
A
x
C
D
Kẻ tia Cx sao cho CA là phân giác của BCx , tia Cx cắt đường thẳng AB tại D. 0,5®
Khi đó ta có: DCA = ACB = 36o ÞDDCA cân tại C, DBCD cân tại B Þ AB = AC = DC. 0,5®
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác BCD ta có:
, mà BC = BD 0,5®
Vậy là số vô tỉ. 0,5®
Bài 5:
a) Ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) Û
Ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2) = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a. 0,25®
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si: 
a3 + b2a ≥ 2a2b ; b3 + bc2 ≥ 2b2c ; c3 + ca2 ≥ 2c2a , dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
suy ra: a2 + b2 + c2 = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a ≥ 3(a2b + b2c + c2a)
suy ra: 0,25®
Đặt : t = a2 + b2 + c2, ta có : 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 = 1 Û t ≥ , dấu “=” xảy ra khi a = b = c = .
Ta được : A = .
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si : dấu “=” xảy ra khi : t = . 0,25®
Mặt khác : 
Suy ra: A dấu “=” xảy ra khi : a2 + b2 + c2 = và a = b = c suy ra: a = b = c = .
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi a= b = c = . 0,25®
	b) Ta chứng minh không tồn tại n thỏa mãn đk đề bài.
Giả sử ngược lại tồn tại n. 
Nhận thấy: Trong một phép chia, số dư luôn bé hơn số chia
Do đó tổng các số dư trong phép chia n cho không vượt quá 
 0,25®
Và tổng các số dư trong phép chia n cho không vượt quá:
Suy ra tổng các số dư trong phép chia n cho các số không thể vượt quá . 
 0,25®
Kết hợp với giả thiết tổng các số dư bằng 2012, suy ra khi chia n cho 22 số trên thì có 21 phép chia có số dư lớn nhất và một phép chia có số dư nhỏ hơn số chia 2 đơn vị.
Suy ra tồn tại k sao cho thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó một trong hai số chia hết cho , số còn lại chia hết cho . Suy ra (Vô lí) 0,25®
Suy ra điều giả sử là sai.
Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn. 
 0,25®
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài:150 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1( 2 điểm) 
a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - 1 )2 + 2013
Tính giá trị của A khi x = 	
	b) Cho (x +).(y +)=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0
Câu 2 ( 2 điểm) 
	a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) 
b) Chứng minh , với a, b, c>0
Câu 3 ( 2 điểm)
a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
Câu 4 ( 3 điểm)
	1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh:
a) DE2=BH.HC
b) AH3=BC.BD.CE
	2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh 
Câu 5( 1 điểm)	
Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 
.................... Hết ...............
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Câu
Nội dung
Biểu điểm
1
a)
b)
x = = 
= 
Thay x = 2 vào biểu thức A ta có:
A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014
Vậy khi x = thì giá trị của biểu thức A là 2014
-----------------------------------------------------------------------------------
(x +).(y +)=2013
(x -)(x +).(y +)=2013(x -)
-2013.(y +)=2013(x -)
-y -=x -
Tương tự: -x -= y -
x+y =0x =-y x2013+ y2013=0
0,25
0,25 
0,25
0,25
0,25
0,25 
0,25
0,25
2
a)
b)
x2+ 5x +1 = (x+5) 
x2+1 + 5x = (x+5) 
x2+1 + 5x - x- 5=0
(-x) +5(x- )=0
 (-x) (- 5) = 0
(-x) = 0 hoặc (- 5) = 0
=x hoặc = 5
x2+ 1 = x2 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25
x2 = 24
x = 
Vậy nghiệm của PT là x = 
0,25
0,25 
0,25
0,25 
0,25
0,25 
0,25
0,25
3
Ta có 
Tương tự: , 
Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có)
Vậy 
0,25
0,25 
0,25
0,25
4
a)
b)
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x2+10x+16)( x2+10x+24) +2013
=( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013
=( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21
= y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998
 A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
 = (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014
Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0
0,5
0, 5 
0,5
0,5
5
a)
b)
Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH AB, HE AC
Tứ giácADHE có =90 0, =90 0, =90 0
Tứ giácADHE là hình chữ nhật
AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC
Ta có AH2=BH.HC AH3=BH.HC.AH 
AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC
AH3=BC.BD.CE
Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC
Ta có =
Vẽ BI AD BI BD
Ta có . Vậy 
0,25
0,25 
0,25
0,25 
0,25
0,25 
0,25
0,25
0,25
0,25 
0,25 
0,25
0,25
6
Với ta có 
 (I)
a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,
Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:
Tương tự: 
 (đpcm) 
0,25
0,25 
0,25
0,25 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MÔN THI: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 150 phút)
 Bài 1(6điểm)
Cho P =
a, Rút gọn P
b, Tính giá trị của P với x=
c, Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 2 : (3đ) Giải phương trình sau :
 ( với m là tham số ).
 Bài 3 : ( 2đ) Chứng minh rằng nếu a , b là các số dương thõa mãn :
 Thì : 
Bài 4 : (6đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P .
Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng.
Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất.
Bài 5 : (3đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :
 6
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Câu 1: (6 điểm)
 Cho P=
a, Rút gọn P (2 điểm)
 Điều kiện để P có nghĩa là : x ; y; xy	 (0,5 đ)
Ta có :
 P=
= 	 (0,5đ)
= 
= (0,5đ)
= (0,5đ)
b, Tính giá trị của P với x= (1điểm)
Ta thấy x= thoả mãn điều kiện x0 0.25đ 
Ta có : x===4-2=(-1)2 (0,5đ)
Thay x vào P = , ta có:
P= = 
=== 
c, Tìm giá trị lớn nhất của P (2 điểm)
 Với mọi x0, ta có:
 	 (0,25đ)
 x+1 (0,5đ)
 1 ( vì x+1>0) 0.25đ
 (0,25đ)
 P 
Vậy giá trị lớn nhất của P =1 0.25đ
 x=1 (0,5đ)
Bài 2 : (3 điểm).
 Từ phương trình ta có:
 1.5đ 
+ Nếu : 0.5đ
 phương trình có vô số nghiệm. (0,5đ)
+ Nếu m -1;0;1 ; ; phương trình có nghiệm x= m-2003. (0,5đ)
Bài 3 : (2điểm). Từ 1/a +1/b+1/c =0 mà a, b là các số dương suy ra c là số âm và 
ab+bc+ca = 0. (0,25đ)
Ta có :
 (1.25đ)
Bài 4 :(6điểm)
Do P thuộc (O’) mà MD là đường kính suy ra góc MPD vuông hay MP vuông góc với ED. Tương tự CE vuông góc với ED. Từ đó PM//EC. (1) 
Vì EF là dây cung, CD là đường kính mà CD E F nên I là trung điểm của E F. Lại cóI là trung điểm của CM nên tứ giác CE M F là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2). Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng. (2đ)
Ta có EDC =EFP (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Do tam giác PO’D cân tại O’ nên EDC = O’PD. Lại có EFP =IPF (do tam giácIPF cân) vậy 
I PF=O’PD mà FPD =1v, suy raIPO’ =900 nên IP O’P. Hay IP là tiếp tuyến của (O’). (2đ)
Vì O’M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO’ =1/2 CD vậyIO’ =R. áp dụng định lý Pytago có PI2 + PO’2 = IO’2 =R2 (không đổi ) . Mặt khác 4S2 =PI2.PO’2 ( S là diện tích của tam giác IO’P) . Vậy 4S2 Max hay S Max khi PI = PO’ =R mà DM =2 PO’ do đó 
 DM = R , Vậy M cách D một khoảng bằng R. 2đ (1đ)
Bài 5 ;(3điểm) 
 Đặt 0.5đ
Xét tích : 
 1đ
 1đ
 Vậy (x, y , z) = (1,1,1) =(-1,-1,-1) là cần tìm. 0,5đ
UBND HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: .
Rút gọn biểu thức P.
Tính giá trị của P với .
Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: và .
Vẽ đồ thị (D) và (L).
(D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông.
Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: .
Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 
Chứng minh rằng: .
Bài 5: (6 điểm) 
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:
Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
MN AD.
ME.MA = MF.MD.
---------- Hết ----------
UBND HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9
Bài
Đáp án
Điểm
1
ĐKXĐ: .
0,5 đ
a)
Mẫu thức chung là 1 – xy 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2
a)
Đồ thị có : 
Đồ thị 
Đồ thị như hình vẽ:
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
b)
Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)
Ta có: OM = OM2 = 2
 ON = ON2 = 18
 MN = MN2 = 20
Vì: OM2 + ON2 = MN2 
Vậy: tam giác OMN vuông tại O
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
3
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
Đặt thì: 
Ta được pt: 6y2 – 5y – 50