Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Thanh Văn

PHÒNG GD &ĐT THANH OAI 
TRƯỜNG THCS THANH VĂN 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: Toán.
 Thời gian: 150 phút.( không kể thời gian giao đề)
 	Bài 1: (6 điểm)
 	 a. Cho 
	 1) Rút gọn M
 	 2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 
	 b. Tính giá trị của biểu thức P 
 	 với 
	Bài 2: (4 điểm)
	a - Giải phương trình: 
	b - Tìm tất cả các số nguyên n sao cho là một số chính phương 
	Bài 3: (4 điểm)
	a) Cho đường thẳng: (m là tham số) (1)
 	 Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
	b) Chứng minh rằng : nếu a, b ,c là ba số thỏa mãn 
 	 a +b +c = 2013 và = 
	thì một trong ba số phải có một số bằng 2013
	Bài 4: (5 điểm)
	Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc 
	với nhau. Mlà một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên 	 CD và AB.
	a) Tính 
	b) Chứng minh: 
	c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
	Bài 5: (1 điểm)
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	(Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
- Hết -
PHÒNG GD &ĐT THANH OAI 
TRƯỜNG THCS THANH VĂN 
ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 	Bài 1:
(4,5đ)
	ĐKXĐ: (*) 
	1)Rút gọn M : Với Vậy (với ) (*) 	(2,5đ)
	2) 	(0,75đ)
	Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi: 
	Ư(3) Vì 
	Nên
	Xảy ra các trường hợp sau: (0,5đ)
	. (TMĐK (*) )
	. 
	(không TMĐK (*) loại ) (0,25đ)
	Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên. 
	b_ 
	Có 	(0,5đ)
 	 	(0,25đ)
	 	(0,75đ)
	Với x = 1.Ta có 
	Vậy với x = 1 thì P = 2014
	Bài 2: 
	a_(2,5đ) 
	 (1)
 	Ta có: (2)
	 Thay (2) vào (1) ta có:
 	(1) (3) ( 0,5đ)
 	Đặt , với y ≥ 1. Suy ra 
 	 Thay vào (3): (0,5đ)
 	 * Với y = 1 thì x = 0 thỏa mãn phương trình.
	 * Với y ≠ 1 và y ≥ 1, ta có: (4) (1đ)
 	Vì và y > 1 thay vào vế trái của (4) 
 	lớnhơn. (0,25đ) 
 	 Do đó (4) vô nghiệm 
 	Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25đ)
	b_ (1,5đ) Giả sử (1) 	(0,5đ)
	Suy ra (k + n) và (k – n) = 2k là số chẵn nên (k + n) và (k – n) cùng tính chẵn 	lẻ 
	Do 2014 là số chẵn nên (k + n) và (k – n) đều là số chẵn 	(0,5đ)
	Khi đó từ (1) suy ra ta lại có (điều này vô lí)
	Vậy không có số nguyên n nào để là số chính phương 	(0,5đ)
	Bài 3: 
	a) (2đ) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng 
	đi qua điểm cố định 	
	với mọi m là : (0,5đ)
	 với mọi m
	 với mọi m
 với mọi m	(0,75đ)
	 	(0,5đ)
	Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(-1; 1) 	(0,25đ)
	b) Điều kiện a,b,c 0
	Từ 
 Suy ra ( bc +ac +ab ) ( a+b+c ) – abc = 0 	(0,25đ)
 ( a+b ) ( b+c ) ( c+a ) = 0 a+b =0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0 	(0,5đ) 
 Nếu a+b =0 mà a+b+c =2013 nên c=2013
 Nếu b+ c =0 mà a+b+c =2013nên a=2013 
 	 Nếu a+c=0 mà a+b+c =2013 
	nên b=2013 (0,5đ)
	Vậy 1 trong các số a , c ,b bằng 2013 (0,25đ)
	Bài 4:
 	 (0,5đ)
	a_ Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
	= 	 	 =1+1=2 	(1,5đ)
	b_ 
	Chứng minh: 
	Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
	Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường 	cao) (1đ)
	và BH = AB – AH = 2R – AH 
	 Suyra:OK2=MH2=AH(2R-AH) (1đ)
 c_	
 P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) 	(0,25đ)
 	MàOH.MH(Pitago) 	(0,25đ)
 	Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH 	(0,25đ)
	OH= 	(0,25đ)
	Bài 5:
	Đặt x = b + c – a, y = a + c – b, z=a + b – c thì `
 Ta có 	(0,25đ)
 Vậy 	 	(0,25đ)
 Dấu đẳng thức xảy ra khi 	(0,25đ)
 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 26 khi và chỉ khi (0,25đ)
Duyệt của BGH Xác nhận của tổ	 Người ra đề 
 Ngô Thị Liên