Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Cao viên

PHÒNG GD-ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
Môn: Toán 9 (Thời gian 150 phút )
Năm học 2015-2016
Bài 1: ( 5điểm ) 
1) Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.
2) Cho . Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 2: ( 4 điểm )
Cho hàm số y = ( m- 1) x + m2 -1 ( m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tạo độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB là tam giác cân. 
Giải phương trình : 
Bài 3 : ( 3 điểm )
1) Tìm số tự nhiên n để là số chính phương.
2) Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 2015.
 Chứng minh bất đẳng thức: 
Bài 4: ( 6 điểm )
 Cho đường tròn ( O,R ). Đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O).Trên đường tròn lấy E ( E khác A,B).Tiếp tuyến tại E cắt Ax,By lần lượt tại C và D. Vẽ EF vuông góc với AB tại F. BC cắt EF tại I. EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N và K là trung điểm của AC. 
Chứng minh I là trung điểm của EF và K, M, I, N thẳng hàng.
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD. Chứng minh .
Gọi r1 , r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE. Chứng minh rằng 
Bài 5: ( 2 điểm )
Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn a3 + b3= 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của (a+b ).
Hết
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN (2015-2016)
Câu
Đáp án
Điểm
Bài 1
(5đ)
Đkxđ : 
b)+ Chứng minh được BĐT 
 + từ gt biến đổi ta được : 
+ Tìm được dấu bằng : 
+ KL : max P= 9 khi 
 => 
 B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2020 
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2015 
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2015
B = 2015 
0,5đ
0,5
0,5
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25 đ
Bài 2
(5đ)
+ HS lập luận được để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B sao cho tam giác OAB cân tại O thì đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng y = x ( hoặc y = - x ) 
+ Từ đó dẫn đến hoặc giải hệ pt ta tìm được 
m = 2 hoặc m = 0 và trả lời bài toán 
1đ
1đ
2. đk 
Biến đổi pt đưa về pt 
Nếu x= -2 không là nghiệm của pt 
. Nếu . Biến đổi đưa pt về: 
 Đặt 
PT đưa về dạng 2t2 – 3t – 2 =0
Tìm được 2 nghiệm t = -0,5 ( loại ) ; t = 2 ( thỏa mãn )
Từ đó tìm được 
Kết hợp đk và kết luận nghiệm 
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3
(3đ)
+ Xét n= 0 thì A= 4 là số chính phương ( thỏa mãn )
+ Xét n là số tự nhiên khác 0 
 A = (20124)n + (20134)n + (20144)n+ (20154)n
Lập luận để tìm được chữ số tận cùng 
(20124)n có CSTC là 6 
(20134)n có CSTC là 1 
 (20144)n có CSTC là 6 
 (20154)n có CSTC là 5
 Vậy A có CSTC là 8 
Từ đó kết luận A không thể là số chính phương . 
0,5đ
0,25đ
1đ
0,25đ
+ ta có 2015 + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b ) ( a + c ) 
+ Áp dụng BĐT cô si ta được
Chứng minh tương tự ta có 
Cộng theo vế các BĐT trên ta được 
0,25đ
1đ
0,25đ
0,5đ
Bài 4
(6đ)
y
x
Q
B
D
E
K
C
A
M
O
F
I
N
I
N
F
O
+ kéo dài BE cắt Ax tại Q 
 + chứng minh được CEQ cân tại C và CAE cân
 Suy ra CA = CQ ( 1)
 + EF//CQ nên (2) 
+ Cm EMI đồng dạng AMK (c-g-c)
Suy ra EMI = KMA 
 Suy ra KMA + AMI =1800
Vậy K , M , I ,N thẳng hàng 
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
+ đặt CD = a ; OC =b ; OD =c ( a > b; a > c )
+ vì r là bán kính đường tròn nội tiếp COD 
+ Trong COD có b+c > a suy ra a+ b +c > 2a
 (3)
+ Vì (4)
Từ (3) (4) suy ra đpcm 
0,5đ
0.5đ
0,5đ
+ gọi P là nửa chu vi tam giác 
 r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác 
 S là diện tích tam giác 
 ta chứng minh được S = Pr
+ Cm : COD đồng dạng với các CEO ; OED 
 (5)
Cm tương tự ta có : 	 (6) 
Từ (5) (6) (đpcm) 
0,25đ
0,5đ
0,75đ
Bài 5
(1đ)
+ Ta có a3+b3= (a+b) (a2-ab +b2) Mà a3+b3 = 2 và a2-ab +b2 > 0 
Suy ra : a+ b >0 (1) 
+ đặt a= x + 1; b = y +1 
 a3+b3 = 2 hay x3 + y3 +3(x2+ y2) +3(x+y) =0 
mà 3(x2+ y2) 0 x3 + y3 +3(x+y) 0 ( x + y)( x2-xy+y2 +3) 0 
x+y 0 ( vì x2-xy+y2 +3 >0 ) 
 a+ b 2 (2)
Mặt khác a+b là số nguyên (3) 
Từ (1) và (2) , (3) a+ b =1 ; a+ b =2
+ Nếu a+b =2 thì ta luôn chọn được cặp số a=b =1 ( thỏa mãn đầu bài )
+ Nếu a+ b = 1 . khi đó ta có a+ b = 1 và a3+b3 = 2 
 (I)
Vì hpt (I) có nghiệm a,b nên tồn tại cặp số thực để a+b = 1 
Vậy để thỏa mãn các dữ kiện của đề bài thì chỉ tồn tại 2 giá trị nguyên của a+ b = 1 ; hoặc a+b =2 
0.25
1đ
0,5đ
0,25đ
 Người ra đề Tổ chuyên môn	Ban giám hiệu 
 Nguyễn Mai Phương