Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2014 - 2015 môn: Toán

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1 (2,0 điểm):
Cho . 
Hãy rút gọn: (Với 0£ x £1).
Cho . Thực hiện tính .
Bài 2 (2,0 điểm): 
Giải các phương trình sau:
a) + = 7
b) 
Bài 3 (2,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở A. M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E. BC cắt OD ở I và cắt OE tại K. Chứng minh rằng:
a) DB.DE = DI.DO 
b) OM, DK, EI đồng quy.
Bài 4 (2,0 điểm): 
	Cho đường tròn (O, R) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By của đường tròn. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung AB. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. 
 Chứng minh: AC.BD = R2 
 Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OCD nhỏ nhất.
Bài 5 (2,0 điểm): 
	Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng:
a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5.
b) M = luôn nhận giá trị nguyên.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1 (2,0 điểm):
0,25
0,25
0,25
0,25
.
0,50
Từ x3 = 4 + 3x được: x3 – 3x = 4 Û (x3 – 3x)3 = 43 Û x3(x2 – 3)3 = 43 =64.
0,25
Thay được =4
0,25
Bài 2(2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
Nhân hai vế với được: +
0,25
+
0,25
 Û
0,25
 x = 15. Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm.
0,25
Cộng hai vế với được: 
0,25
Û
0,25
Û. PT vô nghiệm do VT³0; VP <0.
0,25
.
Giải phương trình được nghiệm: 
0,25
Bài 3 (2,0 điểm):
Hai tam giác DBI và DOE có:
(DB, DM là các tiếp tuyến)
0,25
sđ = sđ; sđsđ=sđ 
ÞÞD DBI đồng dạng DDOE 
0,50
Þ 
0,25
Từ: và (Đ.đỉnh)
Þ 
Þ Tứ giác DBOK nội tiếp đường tròn.
Do = 900 nên = 900 hay DK^OE
0,50
Tương tự: EIO = 900 hay EI ^ DO
0,25
OM ^DE (DE là tiếp tuyến tại M)
Tam giác DOE có OM, DK, EI là các đường cao nên OM, DK, EI đồng quy
0,25
Bài 4(2,0 điểm): 
- AC = CM; BD = DM nên AC.BD = MC.MD.
0,25
- Chứng tỏ được OCD vuông tại O.
0,25
- MC. MD = OM2 = R2.
0,25
Đặt AC = x; BD = y có:
OC = ; OD = .
CV= OC+OD+CD = ++ x+y
0,25
Do x.y = R2 nên x + y nhỏ nhất khi x = y = R (1)
0,25
Xét A= +
 A2 = x2 + y2 + 2R2 + 2
 = x2 + y2 +2R2 + 2.
Để A nhỏ nhất Û A2 Û x2 + y2 nhỏ nhất.
x2 + y2 ³ 2xy =2R2. Dấu "=" xảy ra khi x = y = R (2)
0,50
Từ (1) và (2) CV nhỏ nhất khi x = y Û M là điểm chính giữa của cung AB. 
Lúc đó CV = 2R + 2R
0,25
Bài 5(2,0 điểm): 
n5 – n = n(n2 -1)(n2 + 1).
0,25
Xét số dư khi chi n cho 5:
n = 5k: n chia hết cho 5 nên n5 – n.
n = 5k±1: n2 -1 = 25k2 ±10k + 1-1 = 5(5k2 ±2k) chia hết cho 5.
n = 5k±2: n2 +1 = 25k2 ±20k + 4+1 = 5(5k2 ±4k+1) chia hết cho 5.
Vậy với mọi n Z thì n5 – n chia hết cho 5.
0,50
M = . 
M Z Û M(x) =chia hết cho 30.
0,25
M(x) = chia hết cho 5. (1)
0,25
M(x) =
Tích ba số nguyên liên tiếp x(x-1)(x+1) chia hết cho 2; 3 và ƯCLN(2,3)=1 nên x(x-1)(x+1) chia hết cho 6 Þ M(x) chia hết cho 6. (2)
0,50
Kết hợp (1), (2) và ƯCLN(5,6) = 1Þ M(x) chia hết cho 30 hay M nhận giá trị nguyên với mọi x Z.
0,25
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1 (2,0 điểm):
a) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 
;	
b) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 .
Bài 2 (2,5 điểm):
a) Cho hàm số có đồ thị (P). Tìm các giá trị của để đường thẳng (d) có phương trình cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt , thoả mãn: 
	b) Giải hệ phương trình: 
Bài 3 (2,5 điểm):
	Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Trên tia NC lấy điểm G. Đường thẳng GM cắt DB tại H và cắt DA tại K. KN cắt AB tại E; NH cắt AB tại F.
Chứng minh NM là phân giác của góc ENF.
Khi G là trung điểm của NC. Chứng minh GA, DB, KN đồng quy.
Bài 4 (2,0 điểm):
	Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh:
	a) 
	b) 9 
Bài 5 (1,0 điểm):
	Tìm các số nguyên x, y để: 
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Bài 1 (2,0 điểm):
a) 
0,50
Có: ; nên 
0,50
b) Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0.
0,25
Áp dụng a) có: ; 
Tương tự: ; 
0,50
Cộng được: 
	Û 
0,25
Bài 2 (2,5 điểm):
Các điểmthuộc (d) và thuộc (P) nên x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: (1)
0,25
Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt.
0,25
Các điểm thuộc (d) nên 
Thay vào: được:
Theo định lí Viet . Ta có 
(1+4m)2 = 9 
0,50
+ Tìm được . Đối chiếu ĐK kết luận m = 
0,25
Trừ được: 
0,25
Với x = y: x3 + 1 = 2(x2 – x + y)
 x3 – 2x2 + 1 = 0
 (x – 1) (x2 - x - 1) = 0
Giải được x1 = 1; x2 = ; x3 = 
Nghiệm của hệ là: 
0,50
Với: 
PT vô nghiệm do VT luôn lớn hơn 0.
0,50
Bài 3 (2,5 điểm):
Nối NA, NB. Chứng minh được DAND =DBNC Þ NA = NB Þ DNAB cân Þ MN ^ AB
Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN)
 KM/KG = AM/DG
Þ ME/GN = AM/DG
MF/NG = HM/HG
HM/HG = MB/DG
Þ MF/NG = MB/DG
Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GNÞ ME=MF
Tam giác ENF có NM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên NM là phân giác của ENF.
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
Từ DN = 2NG chứng minh được AE = 2EM.
Gọi I là giao điểm của EN và DB. Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN.
Gọi J là giao điểm của AG và EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN
 Þ IE/IN =JE/JN Þ I º J hay GA, DB, KN đồng quy.
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4 (2,0 điểm):
Lần lượt hạ AH, OK vuông góc với BC. Có:.
0,25
Lại có nên .
0,50
Tương tự: ; 
0,25
Cộng được: 
0,25
Với ba số dương a, b, c có:
Û
0,25
Có: =. 1
=(). () ³ 9
0,50
Bài 5 (1,0 điểm):
Đưa về phương trình tích
0,50
Lập và giải các hệ phương trình:
Giải được nghiệm: (3; -1); (-3; 1)
0,50