Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Tinh Bình (Có đáp án)

PHềNG GD&ĐT SƠN TỊNH
TRƯỜNG THCS TỊNH BèNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MễN: TOÁN 7
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC:
Bài 1: (4,0 điểm) 
a/ Thực hiện phộp tớnh: M = 
b/ Cho A = 3 + 3² + 3³ +... + 3100. Tỡm số tự nhiờn n biết rằng 2A + 3 = 3n.
c/ Chứng minh rằng: .
Bài 2: (3,0 điểm) Tỡm x, y biết:
a/ - x = 15. b/ c/ |x – y – 5| + (y – 3)2016 = 0
Bài 3: (3,0 điểm)
1/ Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh : . 
2/ Tỡm x, y, z biết: và xyz = 810 
 Bài 4: (2,0 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức sau:
a/ B = 3|x – 1| + 4 – 3x b/ C = |2x – 4| + |2x + 1|
Bài 5: (3,0 điểm)
Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc. Một ô tô đi từ A đến B hết 2,5 giờ và đi từ B đến A hết 4 giờ. Khi lên dốc (cả lúc đi và lúc về) vận tốc của ô tô là 20 km/h. Khi xuống dốc (cả lúc đi lẫn về), vận tốc của ô tô là 30 km/h. Tính quãng đường AB.
Bài 6: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA 
Chứng minh: MA BC
	----------------Hết------------------
 ( Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm )
a. Thực hiện phộp tớnh:
	M = 
Cho A = 3 + 3² + 3³ +... + 3100. Tỡm số tự nhiờn n biết rằng 2A + 3 = 3n.
Tỡm x biết:
 - GV: Hướng dẫn giải 
a/. - x = 15. 
 = x + 15	
* Trường hợp 1: x - , ta cú:	
4x + 3 = x + 15 	
 x = 4 ( TMĐK).	
* Trường hợp 2: x < - , ta cú:	
4x + 3 = - ( x + 15)	
 x = - ( TMĐK).	
Vậy: x = 4 hoặc x = - .	
a. 	
Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh : . 	
Đặt = k => a= kb ; c = kd Thay vào cỏc biểu thức :
=> đpcm.
Chứng minh rằng : .
Giải Ta cú * A < = = 
	* A > .
Bài 1: (3,0 điểm) 
a/ Tính tổng:
b/ Thực hiện phộp tớnh: M =
Bài 2: (3,0 điểm) 	
a/ Cho: . Chứng minh: .
b/ Tìm x, y, z biết: và x2 + y2 + z2 = 14
Bài 3: (4,0 điểm) 
a/ Tìm x, biết: - x = 15. 
b/ Tỡm x, y, z biết: 	
c/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Bài 4: (3,0 điểm) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1/2 quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 5: (5,0 điểm) Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
a/ BH = AK
b/ MBH = MAK
c/ MHK là tam giác vuông cân
Bài 6: (2,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú B = C = 500. Gọi K là điểm trong tam giỏc sao cho KBC = 100 , KCB = 300. Chứng minh BA = BK.
----------------Hết------------------
( Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm )
PHềNG GD&ĐT SƠN TỊNH
TRƯỜNG THCS TỊNH BèNH
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MễN: TOÁN 7
NĂM HỌC: 2014-2015
Bài
Đỏp ỏn
Điểm
Bài 1
(3,0điểm)
M = 1
(1,0điểm) 
(0,5điểm) 
(1,5điểm) 
Bài 2
(3,0điểm)
(1,0điểm) 
(0,5điểm) 
(1,5điểm) 
Bài 3
(4,0điểm)
a/ - x = 15 = x + 15	
 x = 4 hoặc x = - .	
(0,75điểm) 
(0,75điểm) 
(1,0điểm) 
c/ Ta cú: 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2011
Dấu “=” xảy ra khi 
(1,0điểm) 
(0,5điểm) 
Bài 4
(3,0điểm)
18 phút = 
- Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đường trước là v1; t1, vận tốc và thời gian đã đi nửa quãng đường sau là v2; t2.
- Cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là 2 đại lượng TLN do đó:
 v1t1 = v2t2 (giờ) thời gian dự định đi cả quãng đường AB là 3 giờ
- Quãng đường AB dài 40 . 3 = 120 (km)
(2,0điểm) 
(1,0điểm) 
Bài 5
(5,0điểm)
- Vẽ hỡnh đỳng 
a/ HAB = KCA (CH – GN)
 BH = AK
(0,5điểm) 
(1,5điểm) 
b/ MHB = MKA (c.g.c)
(1,5điểm) 
c/ MHK cân vì MH = MK (1)
 Có MHA = MKC (c.c.c)
 AMH = CMK từ đó HMK = 900 (2)
 Từ (1) và (2) MHK vuông cân tại M
(0,5điểm) 
(1,0điểm) 
Bài 6
(2,0điểm)
C
K
A
I
B
Vẽ tia phõn giỏc gúc ABK cắt 
đường thẳng CK ở I.
Ta cú: IBC cõn nờn IB = IC.
 BIA= CIA (c-c-c) 
nờn . 
Do đú: BIA = BIK (g-c-g) 
(2,0điểm)
* Lưu ý: Học sinh giải cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.