Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Khối 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

Phòng giáo dục và đào tạo yên định
đề thi chính thức
 kỳ thi học sinh giỏi cấp trường 
năm học 2014 - 2015
Môn: toán – khối 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
đề BàI
Bài 1 (4 điểm):
a) Tớnh giỏ trị của biểu thức:
b) Cho B = 22015 - 22014 – 22013-....- 2 – 1 . Tớnh 2015B.
Bài 2 (4 điểm):
a) Cho . Chứng minh rằng :
b) Cho đa thức f(x) =ax2 + bx + c với a, b, c là hệ số nguyờn. Biết f(x) 5 với mọi số nguyờn x. Chứng tỏ rằng a, b, c cũng chia hết cho 5.
Bài 3 (4 điểm):
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = khi x thay đổi.
b) Tỡm số tự nhiờn n để phõn số cú giỏ trị lớn nhất.
Bài 4 ( 6 điểm ):
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điờ̉m của BC, từ M kẻ đường thẳng vuụng góc với tia phõn giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: 
a) AE = AF
BE = CF
Bài 5: ( 2 điểm )Tỡm giỏ trị nguyờn dương của x và y, sao cho: 
 Hết.
 Họ và tờn thớ sinh::........................................... SBD........................................
 Giỏm thị 1:.................................................... Giỏm thị 2:..............................
Hướng dẫn chấm môn toán khối 7
Cõu
Đỏp ỏn
Biểu điểm
1
a)
b)Ta cú : 2B = 
 2B – B = 
 B = 
 2015B = 2015.
Vậy 2015B = 2015
2,0
2,0
2
a)
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 
 (đpcm)
b) f(x) =ax2 + bx + c với a, b, c là hệ số nguyờn
Vỡ f(x) 5 với mọi số nguyờn x nờn ta cú f(0) 5 => c 5
Lại cú : f(1) 5 => a + b + c 5 mà c 5 nờn a + b 5 (1)
 f(- 1) 5 => a – b + c 5 mà c 5 nờn a – b 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a 5 và b 5. Vậy a, b, c chia hết cho 5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
3
a) + Nếu x < 2014 thỡ: A = - x + 2014 + 2015 – x = - 2x + 4029
 Khi đú: - x > -2014 => - 2x + 4029 > – 4028+ 4029 = 1 => A > 1
 + Nếu 2014 x 2015 thỡ: A = x – 2014 + 2015 – x = 1
 + Nếu x > 2015 thỡ A = x - 2014 - 2015 + x = 2x – 4029
 Do x > 2015 => 2x – 4029 > 4030 – 4029 = 1 => A > 1.
 Vậy A đạt giỏ trị nhỏ nhất là 1 khi 2014 x 2015
b) 
Đặt B= thỡ A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất .
B lớn nhất khi 2n – 3 là số tự nhiờn nhỏ nhất 2n – 3 = 1 n = 2.
Vậy GTLN của A bằng 6 khi và chỉ khi n = 2.
1,0
1,0
0,75
0,75
 0,75
0,5 
4
a) - Xét ANE và ANF có :
 AN chung
 (gt)
Suy ra : ANE =ANF (g – c - g)
 AE = AF (2 cạnh tương ứng)
b) - Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K 
- Xét BME và CMK có :
 MB = MC (gt)
 (đụ́i đỉnh) 
 (so le trong)
 Suy ra: BME = CMK (g – c - g)
 BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1)
- Vì AE = AF nờn tam giác AEF cõn tại A, suy ra: 
 Mà: (đụ́i đỉnh) và (so le trong)
Suy ra: 
 tam giác CFK cõn tại C 
 CF = CK (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BE = CF (đpcm) 
c) Ta có: AE = AB + BE
 AF = AC – FC
 Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC
Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC
 (đpcm) 
1đ
0,5đ
0,5đ
 0,25đ
0,5đ
0,5đ
 0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5
Do vai trũ của x và y như nhau nờn giả sử x y ta cú: 
 x y 1 nờn 
 => 
 Với y = 6 => x = 30; y=7; 8; 9 thỡ giỏ trị của x khụng nguyờn
 y = 10 => x = 10 
 Vậy cỏc giỏ trị x, y cần tỡm là: x = 30, y = 6
 x = 10, y = 10
 x = 6, y = 30 
0,5
 0,5đ
0,5đ
0,5đ
	Chú ý : Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.