Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố năm học 2015 - 2016 môn: Toán lớp 9

PHÒNG GD&ĐT
TP. BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (Thi ngày 09/01/2016)
Bài 1: (4 điểm)
 Cho biểu thức :
 a/ Rút gọn A b/ Tìm giá tri bé nhất của biểu thức M=A+ 
Bài 2: (4,5 điểm)
 a/ Giải phương trình 
 b/ Tìm tất cả các bộ số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỷ và 
Bài 3: (4,5 điểm)
 a/ Cho a, b là số hữu tỷ thoả mãn . Chứng minh là số hữu tỉ
 b/ Cho các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng.
Bài 4: (6 điểm)
 Cho đường tròn (O;R), vẽ 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn CA lấy G sao cho GC=AC. Tia OG cắt BC tại M, vẽ ON vuông góc với BG .
 a/ Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
 b/ Tia CN cắt đường tròn tại K . Tính theo R
 c/ Chứng minh MN=2R
Bài 5: (1 điểm) Tìm x, y nguyên dương thõa mãn 
Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:................................
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN LỚP 9
Câu
Nội Dung
Điểm
Bài 1
4 đ
a/
2,5đ
Ta có 
Vậy 
=
=
Vây A= với x>0
0,75
0,75
0,5
0,5
b/
1,5đ
M=A+=
dấu = có khi . Vây M bé nhất bằng 4 khi x=4
1
0,5
Bài 2
4,5 đ
a/
2,0đ
Ta có 
 đk x
Đặt với a>0 vì ; đặt với b0
 và 
Vây ta có PT 
Vì a>0 và b0 nên 2a+b>0 vây ta có ab=0
 Thỏa mãn
Vậy nghiệm của PT là x=1;x=3
0,5
0,75
0,5
0,25
b/
2,5đ
Ta có .
-Nếu mzny0 vô lý vì là số vô tỉ
Vậy mz.
Nên ta có 
Vì x, y,z nguyên dương nên 3y+x+z5 
-Nếu 3y+x+z=9 Ta có 3y x z=11 (loại)
-Nếu 3y+x+z=11 Ta có 3y x z=9 (loại)
-Nếu 3y+x+z=99 Ta có 3y x z=1 (loại)
-Nếu 3y+x+z=33 Ta có 3y x z=3 
Mà xz =y2 nên ta có x(20x)=36
+Nếu x=2 ta có z=18
+Nếu x=18 ta có y=2
Vây ta có (x;y;z)=(2;6;18)=(18;6;2)
0,5
0,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3
4,5 đ
a/
2,5đ
Đặt a+b=s và ab=p. Ta có 
Vị a, b là số hữu tỉ nên là số hữu tỉ. Vây là số hữu tỉ
1,0
1,0
0,5
b/
2,0đ
Ta có 
Vây dấu = có khi x=y=z
Vây khi x,y,z>0 ta có x+y+z dấu = có khi x=y=z
Áp dụng ta có 
Ta có (1)
 (2)
Ta thấy (2) đúng vơi a>0 vây (1) đúng với a>0
Vậy với a>0 ta có dấu = có khi a=1
Ta có 
 dấu = có khi a=b=1
Tương tự dấu = có khi a=b=1
 dấu = có khi a=b=1
Vây ta có 
 =
Vậy Dấu = có khi a=b=c
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
Bài 4
6 đ
a/
2đ
Lấy I là trung điểm của BC ta có OI là đường trung bình của tam giác ABC OI//BC
và OI=CB (1) ; Vì I là trung điểm của BC nên IC=AC mà GC= AC
nên GI=ICGC=
Ta có OI//BC ( cm trên) OI//CM(2)
Từ (1) và (2) ta có CB=CM.
Xét ABM có OA=OB ( cùng bán kính) , có CB=CM ( cm trên) nên OC là đường trung bình mà OCAB nên AMAB. Vậy MA là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
1,0
1,0
b/
2đ
Ta có tam giác AKB nội tiếp đường tròn (vì 3 đỉnh nằm trên đường tròn) mà AB la đường kính nên tam giác AKB vuông tại K, theo Pitago ta có 
Vẽ KP vuông góc với AB, theo hệ thức lương trong tam giác vuông AKB ta có 
Vây ta có 
Vẽ KQ vuông góc với CD, chứng minh tương tự ta có 
Vây Ta có 
Xét tứ giác KPOQ có nên tứ giác KPOQ là hình chữ nhật 
Vậy ta có KP2 +KQ2 =PQ2 =KO2=R2
Vậy =
0,75
0,25
0,75
0,25
c/
2đ
Ta có nội tiếp đường tròn, mà AB là đường kính nên vuông tại C AC là đương cao của . Ta có CM=CB ( cm trên) AC là trung tuyến của vây cân tại A .
Xét có AM là trung tuyến mà GC= nên G là trọng tâm của , keo dài BG cắt đường tròn tại F và AM tại E ta có BE là trung tuyến của nên EA=EM=, mà OA=OB= nên EA=BO.
Ta có nội tiếp đường tròn, mà AB là đường kính nên vuông tại F ; Vì MAAB ( cm trên) nên 
Xét và có AE=OB , 
; Ta có ON (vi...) nên FA=FN=NB vuông cân
.
Ta có (cgc) , mà 
Ta có (cgc) mà MA=AB=2R
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Bài 5
1đ
Đặt với aZ và a; ta có 
-Nếu x lẻ 
 =24q+3+112=4(8q+28)+3 chia cho 4 dư 3
 chia cho 4 dư 3 chia cho 4 dư 3 vô lý vì số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1. Vậy x phải chẵn với k nguyên dương
Vây ta có 
Vì a; Vì 
-Nếu 
-Nếu (loại)
-Nếu 
-Nếu (loại)
Vây ta có (2;15) ; (6;33) thõa mãn dầu bài
0,5
0,5