Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Việt Yên năm học 2010 - 2011 môn: Toán 7

Phòng Giáo dục & Đào tạo
Việt Yên
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn : Toán 7
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: ( 4 điểm) 
a)Tính A = ( - 1 ) . ( - 1 ) . ( - 1 ) . ( -1 ) . ( - 1 )
 b) S = 
Bài 2 : ( 4 điểm)
Tìm x , y nguyên biết xy + 3x – y = 6
Cho A = + + + 
 B = + +.+ 
CMR là một số nguyên.
Bài 3 ( 4 điểm ): 
 a) Cho S= 17 + 172+173+..+1718 chứng tỏ rằng S chia hết cho 307
 b) Cho đa thức = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
 Biết rằng : 
 Chứng minh : với mọi x.
Bài 4 (6 điểm) 
 Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC . Đường thẳng đi
 qua M vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F . Chứng minh :
2BME = ACB - B
 .
BE = CF .
Bài 5 ( 2 điểm)
 Cho 4 số khụng õm a, b, c, d thỏa món a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ 4 số này. S cú thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu?
Phòng Giáo dục & Đào tạo
Việt Yên
Hướng dẫn chấm học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2010 - 2011
Môn : Toán 7
Bài 1
a)
1
1
b) S = 
2S = 	
0.5đ
2S - S = 
0.5đ
S =
1 đ
Bài 2
a)xy + 3x – y = 6 => (x – 1). (y+3) = 3 => x – 1 và y+3 là Ư( 3) 
Tìm ra các cặp (x, y ) thoả mãn (4; -2), (2;0), (-2;-4),(0;6)
b)A = = 
 = ( 1 + +) – 
 = 
 =
B = => 
58B=
B = 
1
1
1
1
Bài 3 : Mỗi ý đúng cho 1 điểm
 a) S = 17( 1+17+172) + 174( 1+17+172) + .......+1716( 1+17+172) 
 = 17. 307 + 174.307 +.............+ 1716.307
0,5
 = 307( 17+ 174+.+ 1716)
 Vì 307 307 nên 307( 17+ 174+.+ 1716) 307
 Vaọy S 307
0, 5
b) 
Do nên a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = a4 - a3 + a2 - a1 + a0
 a3 + a1 = - a3 - a1
 a3 + a1 = 0 (1)	
0.25đ
Tương tự: 
Vì nên 4a3 + a1 = 0	(2)	
0.25đ
Từ (1) và (2) a1 = a3 = 0
0.25đ
Vậy 
	với 
với 
0.25đ
Bài 4
a) (cgc) Suy ra 
Xét có là góc ngoài suy ra 
 có là góc ngoài suy ra 
0.5đ
Vậy 
hay (đpcm).
0.25đ
 b) áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 
 ta có HF2 + HA2 = AF2 hay (đpcm)
0.75đ
c) C/m Suy ra AE = AF và 
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) 
 C/m được 
 và có (cặp góc đồng vị) 
do do đó cân CF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF 
0.75đ
Bài 5 Cho 4 số khụng õm a, b, c, d thỏa món a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ 4 số này. S cú thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu?
Giả sử khi đú
Do khi c = d = 0, lỳc đú a + b = 1.
Do ta cú S = 2a + (a + b) = 2a + 1 2.1 + 1 hay S 3
Kết luận.
0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
 0,5 đ