Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Thanh Oai năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán

PHÒNG GD-ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 Bài 1(6đ) 
1) Cho biểu thức 
 a/ Tìm điều kiện của Q và rút gọn Q
 b/ Tính giá trị của Q khi 
2) Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Bài 2: (4đ)
	1) 
2)) Cho abc = 1.Tính S = 
Bài 3: (3đ)
 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 
 2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 
Chứng minh : 
Bài 4: (6,0 đ) 
Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. 
 a) Chứng minh tam giác ABC vuông
 b)Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
 c) Xác định tam giác ABC sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (1đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
----HẾT----
TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Năm học 2014 – 2015
 Môn thi : Toán
Bài
Tóm tắt lời giải
Điểm
Bài 1
Câu 1a
(2đ)
1.a) ĐKXĐ: x 0; x 
Q = 
 Q = 
 = 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 1
Câu 1b
 (2 đ)
1.b) Ta có: 
Thay x = vào Q ta có:
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 1
Câu 2
(2 đ)
2. Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) 
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
(1,5 đ)
1. 
0,5
1,0
(2,5 đ)
2. Cho abc = 1. 
 S = 
= 
 = 
= 
= 
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(1,5đ)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 (1)
 (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0
0,25
 (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0
0,25
 (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2)
0,25
Vì - (x + y)2 0 với mọi x, y nên: (y - 1)(y + 4) 0 - 4 y 1
0,25
Vì y nguyên nên y 
0,25
Thay các giá trị nguyên của y vào (2) ta tìm được các cặp nghiệm nguyên (x; y) của PT đã cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1). 
0,25
(1,5 đ)
2. - Vì a.b = 1 nên
 - Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 
 Ta có : 
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Bài 4
6đ
0,5
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
Ta có: OA= OB = OC = R 
=> Tam giác ABC vuông tại A (theo đl đảo)
0,25
0,25
b) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật 
AB . EB = HB2 
AC . EH = AC . AD = AH2
Ta có: AB2 = AH2 + HB2 (định lý Pi ta go)
=> Đpcm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b) S(ADHE)= AD.AE 
 S(ADHE) 
Vậy Max S(ADHE)=Khi AD = AE hay AB = AC
 Tam giác ABC vuông cân tại A 
1,0
0,5
0,5
0,5
Bài 5
(1,0đ)
Ta có 
Giả sử: khi đó và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các trường hợp sau:
	(loại)	
=> nghiệm nguyên dương của PT là: ( 1; 18);( 18; 1); ( 2; 5); ( 5; 2)
 0,25
0,25
0,25
0,25
Ban giám hiệu duyệt
PHT Vũ Thị Hồng Thắm 
 Tổ phó duyệt đề
Lê Thị Hồng Thủy
 Giáo viên ra đề
 Nguyễn Đức Anh