Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2014 - 2015 môn: Toán 8

Phòng Giáo dục- Đào tạo
CHƯƠNG MỸ
Trường thcs Đồng phỳ
*****
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2014 - 2015
môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
 Đề thi này gồm 1 trang
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức
a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định.
b) Rỳt gọn A.
c) Nếu x; y là cỏc số thực thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trỡnh :
b) Tỡm cỏc số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. 
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tớnh SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5 (2 điểm): 
 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cựng dấu) 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
HƯỚNG DẪN CHẤM
 năm học 2014 - 2015
môn: Toán 8
Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x y; y0 	(1 điểm)
A = 2x(x+y)	(2 điểm)
Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A	
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)
+ A = 2 khi 
+ A = 1 khi Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng hạn: 
+ Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2	(0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
 a) 
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
x2009 = y2009 = z2009
Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3
Vậy x = y = z = 3
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 ( vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp)
- Chứng minh: n5 – n 5
 n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau.
Bài 4: 6 điểm
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC	(1 điểm)
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	0,5 điểm
- Từ đó suy ra 	0,5 điểm
* Chứng minh 	(1 điểm)
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	0,75 điểm
- Suy ra 	0,25 điểm
Câu b: 1,5 điểm
- Từ = 120o = 60o = 30o	0,5 điểm
- Xét EDB vuông tại D có = 30o
	 ED = EB 	0,5 điểm
- Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm2	0,5 điểm
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 	0,5 điểm
	0,5 điểm
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
	1 điểm
Câu d: 1 điểm
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 
- Chứng minh CM.CA = CI.BC	0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi	0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Bài 5: (2 điểm)
vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú bất đẳng thức này luụn đỳng, suy ra bđt ban đầu đỳng (đpcm)
 Đặt 
 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 
	P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1
- Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. ; . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1)
- Nếu x; y trỏi dấu thỡ và t 0 P > 1 	(2)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin= 1 (khi x = y) 
Bài 5: (2 điểm)
- Gọi R(x) là đa thức dư trong phộp chia f(x) : (x – 2)(x2 – x + 1), khi đú ta cú:
 f(x) = (x – 2).(x2 – x + 1).P(x) + R(x) (1)
- Vỡ đa thức chia (x – 2)(x2 – x + 1) là đa thức bậc 3 nờn đa thức dư R(x) cú bậc 2
- Từ (1) dư trong phộp chia f(x) : (x – 2) chớnh là dư trong phộp chia R(x) : (x – 2), mà R(x) là đa thức cú bậc 2, và f(x) : (x – 2) dư 4 (gt) R(x) = (x – 2)(kx + p) + 4
- Lập luận tương tự trờn