Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Môn toán - Trường thcs Yên Thịnh

Người ra đề: Hoàng Duy Thế
Người thẩm định: Đào Quang Đại.
Phòng giáo dục yên định
Trường thcs yên thịnh
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9
Môn toán - thời gian 150 phút
Năm học: 2009 - 2010
Bài 1: (3 đ). Tính giá trị của biểu thức: 
a)	A= 
b)	B = Với a + b + c = 0
Bài 2: (4 đ). Cho biểu thức:
P = 
Rút gọn biểu thức P.
Tính giá trị của P với x = 14 - 6
Tìm GTNN của P.
Bài 3 (4 đ). Giải các phương trình.
a) 	 +
b) 	 
Bài 4: (3 đ). Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y =1
a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x2 + )( y2 + )
b) Chứng minh rằng: 	N = ( x + )2 + ( y +)2 ³ 
Bài 5 (2 đ). Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC. Các đường tròn đường kính AM, BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L. Chứng minh rằng: ML vuông góc với AC.
Bài 6 (4 đ)
Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b, Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
c, Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.
Đáp án và biểu điểm
Câu 1: (3đ)
a) A= 
= 	(0,5đ)
= 	(0,25đ)
= 2 - - 2 - 3= -4 	(0,5đ)
Vậy A= = -4 	(0,25đ)
b, Vì a + b + c = 0 a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2 
 a2 - b2 - c2 = 2bc 	(0,5đ)
Tương tự có: b2 - c2 - a2 = 2ac 
 c2 - a2 - b2 = 2 ab 	(0,25đ)
B = 	(0,5đ)
Vậy B = 
Bài 2( 4 điểm).
Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x³0; xạ 9 	(0,5 đ).
a) Rút gọn:
 P = 
= 	(0,25 đ).
=	(0,25 đ).
= = = 	(0,5 đ)
b) x = 14 - 6 = ()2 - 2.3. + 9 = ( - 3)2 ị = 3 - 	(0,75 đ).
Khi đó P = = = 	(0,5 đ).
Vậy với x = 14 - 6 thì P = 	(0,25 đ).
c)
 P= 	(1 đ).
( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương )
Dấu"=" xảy ra Û Û x = 4 (thỏa mãn điều kiện) 	(0,25 đ).
Vậy minP = 4, đạt được khi x = 4. 	(0,25 đ).
Bài 3: 4 điểm (mỗi câu 2 điểm).
a)	x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3)
	x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5)
	x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)
	x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)
ị ĐKXĐ: x ạ -1; x ạ -3; x ạ -5; x ạ -7; x ạ -9 	(0,5 đ)
=>pt Û 
Û 	(0,5 đ)
Û 
ị 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) 	(0,25 đ)
Û 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0
Û x2 + 10x - 11 = 0
Phương trình có dạng a + b + c = 0 ị x1 = 1; x2 = -11. 	(0,5 đ)
x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 	(0,5 đ)
b) ĐKXĐ: x ³ -2. 	( 0,5 đ)
Pt Û 	(0,25 đ)
 Û + = 1	(0,25 đ)
áp dụng BĐT |A|+ |B| ³| A + B| ta có : + ³ 1	(0,5 đ)
Dấu "=" xảy ra khi : ()( 3 - ) ³ 0
Û 2 Ê Ê 3 Û 2Ê x Ê 7	(0,5 đ)
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 	(0,5 đ)
Bài 4: ( 3 điểm) ( mỗi câu 1,5 điểm)
a) Ta có : M = ( x2 + )( y2 + ) = 
Mặt khác : xy + = ( xy + + 	( 1).
áp dụng BĐT Côsi : xy + ³ 2=	(2).
ị xyÊ 	( 3)
Từ (1), (2) và (3) ta có : xy + ³ + =
ị (xy + )2 ³ ()2 = 
Vậy minM = , đạt được khi Û x = y = 
b) áp dụng BĐT : A2 + B2 ³ , ta có : 
N = ( x + )2 + ( y +)2 ³ = 
Mặt khác : (x + y)2 ³ 4xy ( do ( x -y)2 ³0) 
Û 1 ³ 4xy Û xy Ê 
N³ . Vậy N ³.
E
D
A
B
M
C
N
L
Dấu "=" xảy ra khi Û x = y = 
Bài 5: ( 2 điểm).
Gọi E là giao điểm của AC và ML
Ta có: góc NCD = gócNCB
	(cùng phụ với goc BCN)
góc NBC = góc NAM ( cùng chắn cung MN)
ị Tam giác NCL đồng dạng với 
tam giác NAM ị
Mặt khác : góc ANC = góc MNL
( cùng bằng 900 + gócMNC)
ị tam giác ANC đồng dạng với tam giác
MNL ị góc NAC = góc NML hay góc NAE = góc NME
ị Tứ giác AMEN nội tiếp ị E thuộc đường tròn đường kính AM
ị góc AEM = 900 hay ML vuông góc với AC ( đpcm).
A
O
M
B
C
H
K
Bài 6: ( 4 điểm).
a) (2 đ) Chứng minh được OM ^ BC
DHOK ~ DAOM
ị =
ị OA.OK = OH.OM (1)
Xét DBOM vuông tại B
nên OB2 = OH.OM (2)
Từ (1) và (2) ị OA.OK = 
= OB2 = R2 (không đổi)
ị OK = không đổi 
ị K cố định trên OA
b) (2 đ) H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định
c) S = dtMBOC = MO.BC
ị S nhỏ nhất Û OM nhỏ nhất và BC nhỏ nhất 
 ị OM nhỏ nhất Û M º A
BC nhỏ nhất Û BC ^ OK Û M º A