Đề thi học kỳ Toán lớp 9

Đề 1
Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức .
	1. Rút gọn biểu thức A.
	2. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu II (5,0 điểm).
 2. Giải hệ phương trình .
Câu III (4,0 điểm).
 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1).
 2. Tìm thỏa mãn .
Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 
	1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.
	2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng.
 3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Đề 2
Câu 1 (4,0 điểm). 
	a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S = 
và .
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A = (với n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 2 (4,5 điểm). 
	a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (4,5 điểm). 
	a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và .
Chứng minh rằng: 
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 4 (4,5 điểm).
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi , xác định vị trí của điểm M để đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.