Đề thi học kỳ II môn Toán Khối 6

BÀI TẬP 1
Bài 1. Cho biểu thức
P =
x+ 2
x
√
x− 1 +
√
x+ 1
x+
√
x+ 1
−
√
x+ 1
x− 1 .
a) Rút gọn P .
b) Chứng minh P <
1
3
.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y =
2mx−m+ 1 (m 6= 0).
a) Chứng minh rằng (P ) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B. Tìm m sao cho |x1 − x2| = 2.
Bài 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau
a) 4x2 − 5x+ 1 = 0.
b)
3x+ y = 54x− 5y = 1
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, không trùng
với A và B. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt
nhau tại K.
a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.
b) Tứ giác ABCK là hình gì ? Tại sao ?
c) Xác định vị trí của điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.
Bài 5. Cho các dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
a√
bc (1 + a2)
+
b√
ca (1 + b2)
+
c√
ab (1 + c2)
1
HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Ta có B̂ = ĈDK (có số đo bằng
1
2
sđCD
_
).
Các tam giác cân ABC và KDC có góc ở đáy bằng nhau (B̂ =
ĈDK) nên góc ở đỉnh bằng nhau, tức là ĈAD = ĈKD. Do đó tứ
giác ADCK là tứ giác nội tiếp.
b) ADCK là tứ giác nội tiếp nên ĈAK = ĈDK.
Ta lại có ĈDK = ĈBA = ÂCB nên ĈAK = ÂCB suy ra
AK‖BC. Vậy ABCK là hình thang.
c) Ta có AK‖BC nên:
A
B C
D
K
O
ABCK là hình bình hành⇔ CK‖AB ⇔ ÂCK = ĈAB (1)
Ta có ÂCK + ÂCD = K̂CD = B̂ = B̂CD + ÂCD nên ÂCK = B̂CD (2)
Từ (1), (2) suy ra để ABCK là hình bình hành, ta phải có B̂CD = B̂AC, tức là điểm D thuộc
cạnh AB sao cho B̂CD = B̂AC.
2