Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Tam Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!
Câu 1. (2,5 điểm) Cho phép toán (*) xác định bởi . 
a) Tính A = 
b) Tính giá trị của B = m*m nếu 3*m = -1
c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x*y = 3*x + y*1
Câu 2. (1,5 điểm) Hãy nghiên cứu sơ đồ dưới đây:
Hỏi số sẽ nằm ở hàng thứ bao nhiêu và ở thứ tự bao nhiêu trong hàng đó tính từ trái sang?
Câu 3. (2,0 điểm) 
Một người đi từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Một lát sau một người khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Theo dự định hai người sẽ gặp nhau tại B, nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì người thứ hai tăng vận tốc lên thành 48 km/h. Hỏi hai người sẽ gặp nhau tại địa điểm cách B bao nhiêu km? Biết rằng quãng đường AB dài 160km.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù thỏa mãn: . 
a) Tính số đo các góc xOy và yOz.
b) Kẻ tia Ot sao cho = 800. Tia Oy có là tia phân giác của góc tOz không?
c) Khi Oy là tia phân giác của góc tOz. Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng phân biệt sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz và Ot. Vẽ đường tròn tâm O bán kính r. Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ. Tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập hợp A.
(Cho biết ba điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn thì không thẳng hàng)
Câu 5. (1,0 điểm)
a) Cho các số tự nhiên a, b (a, b ≠ 0) sao cho có giá trị là số tự nhiên. Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b. Chứng minh rằng: .
b) Cho một lưới ô vuông kích thước 5x5. Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số -1; 0; 1. Xét tổng của các ô được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chéo. Hãy chứng tỏ rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.
----------------Hết -----------------
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: .........................................Số báo danh:.......................Phòng thi:...............
 	PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG 
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 6 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 -2017
MÔN: TOÁN 
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1 (2,5đ)
a) Theo cách xác định phép toán (*) ta có:
A = 
 = (1.2 + 1 + 2)*(3.4 + 3 + 4)
 = 5*19
 = 5.19 + 5 + 19
 = 119
0,25
0,25
0,25
0,25
 b) Theo cách xác định phép toán (*) ta có: 
 3*m = -1
3m + 3 + m = -1
 4m = -4
 m = -1
và B= m*m = m2 + 2m, thay m = -1 vào B ta có
B = (-1)2 + 2.(-1) = 1 – 2 = -1
Vậy B = -1
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Ta có: x*y = 3*x + y*1
xy + x + y = 3x + 3 + x + y + y + 1
xy – 3x – y = 4 hay (x – 1)(y – 3) = 7
Lập luận và tính được các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: 
(2; 10); (0; -4); (8; 4); (-6; 2) 
0,25
0,25
Câu 2
(1,5đ)
Quan sát ta nhận thấy :
* Mẫu của mỗi phần tử là số thứ tự trong hàng
* Tử số + Mẫu số - 1 = số phần tử trong hàng
Ta có: 2016 + 2017 – 1 = 4032
Vậy số nằm ở hàng thứ 4032 
Số thứ tự của số đó từ trái sang là 2017
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 3
(2,0đ)
HiÖu vËn tèc cña hai ng­êi lµ: 40 - 24 = 16 (km/h)
Thêi gian ng­êi thø nhÊt ®i hÕt qu·ng ®­êng AB lµ: 160: 24 =h
Thêi gian ng­êi thø hai ®i hÕt qu·ng ®­êng AB theo dù kiÕn 40km/h lµ: 160: 40 = 4 (h)
Thêi gian ng­êi thø nhÊt ®i tr­íc ng­êi thø hai lµ: 6h40' - 4h = h
Qu·ng ®­êng ng­êi thø nhÊt ®i tr­íc lµ: . 24 = 64 (km)
Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ng­êi khi ng­êi thø hai t¨ng vËn tèc lµ: 64 - 16. 2 = 32 (km)
Thêi gian tõ khi ng­êi thø hai t¨ng vËn tèc ®Õn lóc gÆp nhau lµ: 32: (48 - 24)= h
§Õn lóc gÆp ng­êi thø hai ®· ®i qu·ng ®­êng lµ: 80 + 48 . = 144 (km)
O
z
y
x
Hình 1
Chç gÆp c¸ch B lµ: 160 - 144 = 16 (km)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(3,0đ)
Hình 2
O
x
z
y
t
a) Vì góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nên ta có 
 mà 
0,25
0,25
0,25
0,25
b) TH1: (hình 1)
Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Ot trùng với tia Oz (do = = 800) nên tia Oy không là tia phân giác của góc tOz.
TH2: (Hình 2)
Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Oy nằm giữa hai tia Oz và Ot 
Mà = = 800 nên tia Oy là tia phân giác của góc tOz
0,25
0,25
0,25
0,25
c) Khi Oy là tia phân giác của góc tOz (Hình 2) thì 4 tia Ox, Oy, Oz, Ot là 4 tia phân biệt.
- Lập luận để có 50.2 + 4 = 104 tia gốc O phân biệt, suy ra A có 104 điểm (phần tử).
- Lập luận để có đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm của A
- Nối hai đầu của mỗi đoạn thẳng đó với 1 điểm thuộc 102 điểm còn lại (không phải là các mút của đoạn thẳng đó) được 102 tam giác
- vậy có 5356.102 tam giác. Nhưng như thế thì mỗi tam giác được tính 3 lần.
Vậy ta có (tam giác) 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
(1,0đ)
a)Ta có có giá trị là số tự nhiên
Lại có ƯCLN(a,b)=d 
 (đpcm)
0,25
0,25
b) Vì lưới ô vuông có kích thước 5x5 thì có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo do đó có tất cả 12 tổng.
Do chọn điền vào các ô các số -1; 0; 1 nên giá trị mỗi tổng S là một số nguyên thỏa mãn: 
Vậy có 11 giá trị mà có 12 tổng, theo nguyên lí Đi-rich-lê tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau
0,25
0,25
 Lưu ý:
 - Đáp án chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Trình bày đúng đến đâu cho điểm đến đó dựa vào thang điểm cho từng ý
- Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình quá không chính xác thì không cho điểm, 
- Điểm toàn bài không làm tròn