Đề thi đề xuất học sinh giỏi vòng thành phố Cao Lãnh môn: Toán lớp 9 năm học : 2010 – 2011

PHÒNG GD&ĐT TP. CAO LÃNH	CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THCS THỐNG LINH	Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề thi đề xuất
	KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG THÀNH PHỐ
	Môn: TOÁN	Lớp 9
	Năm học : 2010 – 2011
	Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
	Chú ý : - Đề thi gồm: 1 trang
	- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Đề thi:
Câu 1( 3,5 điểm)
Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A
Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Câu 2 ( 3 điểm)
	Giải hệ phương trình :
Câu 3( 3.5 điểm)
	Tìm tất cả các cách viết số 108 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp
Câu 4 ( 3,5 điểm)
Giải phương trình 
Giải bất phương trình 
Câu 5 ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC ( AC > AB) và số đo góc BAC là . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AB = MC . Gọi P là trung điểm AM và Q là trung điểm của BC. Tính số đo góc CPQ theo 
Câu 6 ( 3,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A, dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng 
	a) AB KB	b) Bốn điểm A , C , E , D nằm trên một đường tròn 
- Hết –
Đáp án và thang điểm
Môn: Toán , Lớp 9
( Kỳ thi học sinh giỏi Lớp 9 cấp thành phố )
Năm học : 2010 – 2011
Chú ý : Thí sinh có cacùh giải khác nhung đảm bảo đúng kết vẫn được hưởng điểm tối đa
Câu
Lời giải 
Điểm
1
(3,5đ)
ĐKXĐ của A : x > 2
a) 
-Nếu x 6 thì 
-Nếu 2 < x < 6 thì 
b) Với x 6 thì . Đặt = t , ĐK : t 2
=> x -2 = t2 => x = t2 + 2
Ta có : 
Để A có giá trị nguyên thì: t = 2 , t=1 => x = 6 ; x = 18 
Với 2 < x < 6 thì 
Để A có giá trị nguyên thì x -2 = 1 ;2 suy ra x = 3 ; 4
Vậy để A có giá trị nguyên thì x { 3 ; 4 ; 6 ;18 }
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2
(3đ)
Đặt ĐK : x +y – 1 0 ; 2x – y + 3 0
Hệ phương trình trở thành : 
Vậy 
1,5đ
1,5đ
3
(3,5đ)
Giả sử 108 được viết dưới dạng tổng của k số tự nhiên liên tiếp là n +1; n +2; ; n + k với k 2 ; n +1 1 , k , n N
Ta có : ( n +1) + ( n +2) +  + ( n +k) = 108
 = 108 => (2n + k +1).k = 216
Vì 2n + k +1 > k 2 và 2n + k + 1- k = 2n +1 là số lẻ nên trong hai số 2n +k +1 và k có một số chẵn và một số lẻ
Do đó 216 = 3. 72 = 9.24 = 8. 27
Với k = 3 thì 2n + k +1 = 72 => n = 34 vậy 108 = 35 + 36 + 37
Với k =9 thì 2n + k + 1 = 24 => n = 7 vậy 108 = 8 + 9 + 10+ + 16
Với k =8 thì 2n +k + 1 = 27 => n = 9 vậy 108 = 10 + 11 + 12 + +17
1.5đ
0.5đ
0.5đ
0,5đ
0,5đ
4
(3,5đ)
a) Giải phương trình (1)
Nếu x < 3 thì (1) -x + 3 –x +11 = 8 x = 3 ( loại)
Nếu 3 thì (1) x -3+11 – x = 8 0x = 0
 Phương trình có nghiệm là 3 
b)
-Nếu x 0 ta có : 
-Nếu x < 0 ta có : 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
5
(3đ)
( Hội đồng chấm tự vẽ hình)
Gọi N là trung điểm của BM 
PN là đường trung bình của tam giác AMB => PN // AB ; PN = AB
Tương tự : NQ // MC ; NQ = MC
Mà AB = MC ( gt) suy ra PN = NQ
Nên tam giác NPQ cân tại N=> 
 ( so le trong) => 
 ( đồng vị)
Vậy 
1đ
1đ
1đ
6
(3,5đ)
( Hội đồng chấm tự vẽ hình)
a)Gọi H là giao điểm của AB và OO’.Ta có IA = IK, AH = HB nên IH là đường trung bình của tam giác AKB do đó IH // KB
Ta lại có OO’AB nên IH AB suy ra KB AB.
b) KB AB, AB = BE nên KA = KE (1) 
IK = IA , IO = IO’ suy ra OAO’K là hình bình hành nên OK // O’A
Ta lại có CA O’A ( CA là tiếp tuyến của đường tròn ( O’)) => OK CA
Nên OK là đường trung trực của AC do đó KA = KC (2)
Chứng minh tương tự KA = KD (3) 
Từ (1) , (2), (3) suy ra KA = KE = KC = KD
Vậy 4 điểm A , E , C , D cùng thuộc đường tròn có tâm K.
1,5đ
1đ
1đ
-Hết-