Đề thi chọn thi học sinh giỏi - Năm học 2016 - 2017 môn Toán 7 - Đề số 7

 Toỏn 7 
 Kỳ thi chọn thi HSG - năm học 2016-2017
 Thời gian : 12o phỳt .
Đề số 7:
 Bài 1. Tính 
 Bài 2.: a, Chứng minh rằng tổng:
 b, Chứng minh rằng nếu thì 
 Bài 3: a, Tỡm x nguyờn biết : 
 b, Tìm x biết 
 c, Tìm x biết: 
 Bài 4 : : a) Tìm x nguyên để 6 chia hết cho 2
 b) Tìm để Aẻ Z và tìm giá trị đó.
 Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất
 Bài 6 : a) Số có chia hết cho 3 không ? và cho 9 không ?
 b) Chứng minh rằng: chia hết cho 7 
 Bài 7 . Chứng minh rằng: f(x) cú giỏ trị nguyờn với mọi 
 x nguyờn khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyờn
 Bài 8: Cho có > 900. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối c với D.
	a. Chứng minh 
	b. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN
	c. Chứng minh AIB 
	d. Tìm điều kiện của để 
---------- Hết ---------
H-dẫn giải : Đề7
Bài 1 : Tính 
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = .
 = 
Bài 2 a) Chứng minh rằng tổng:
 b, Chứng minh rằng nếu thì 
 HD : Đặt a = kb, c = kd . 
 Suy ra : và 
 Vậy 
Bài 3 :Tỡm x nguyờn biết
 a) 
 Bài 4: a) Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món : x – y + 2xy = 7 
 b) Tỡm biết: 
HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13
 b) Từ y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đú tỡm x 
 BÀI 5: a) Tìm x nguyên để 6 chia hết cho 2
 b) Tìm để Aẻ Z và tìm giá trị đó.
 A = . HD: A = = 
Bài 6 : Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất
 HD : Ta cú 
 Để lớn nhất thỡ lớn nhất và 14n – 21 cú giỏ trị nhỏ nhất và n nhỏ nhất n = 2 
Bài 7 : a) Số có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
 b) Chứng minh rằng: chia hết cho 7 
HD: a) Ta cú 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiờn khỏc khụng)
 4 = 3.1 + 1 
 Suy ra : = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , khụng chia hết cho 9
Ta cú 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k N*)
 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*) 
 Suy ra : = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 
 Bài 8: Chứng minh rằng: f(x) cú giỏ trị nguyờn với mọi x nguyờn khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyờn
 HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d 
 Nếu f(x) cú giỏ trị nguyờn với mọi x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là cỏc số nguyờn . Do d nguyờn a + b + c nguyờn và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyờn 2b nguyờn 6a nguyờn . Chiều ngược lại cm tương tự.
Đề 19 :
Bài 8: (3đ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Dựng ra phía ngoài 2 tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE . Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của BC; BD;CE .
	a. Chứng minh : BE = CD và BE ^ với CD
	b. Chứng minh tam giác MNP vuông cân
 Lời giải :
Dễ thấy ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE .
Vì AE ^ AC; AD ^ AB
mặt khác góc ADC = góc ABE
=> DC ^ Với BE.
b) Ta có MN // DC và MP // BE => MN ^ MP
MN = DC =BE =MP;
Vậy MNP vuông cân tại M.
Đề 21
Câu 4 Cho có > 900. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối c với D.
	a. Chứng minh 
	b. Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN
	c. Chứng minh AIB 
	d. Tìm điều kiện của để 
 Lời giải 
Tam giác AIB = tam giác CID vì có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC)
Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c)
à góc B1 = góc D1 và BC = AD hay MB =ND à tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c)
à Góc I3 = góc I4 à M, I, N thẳng hàng và IM = IN
Do vậy: I là trung điểm của MN
Tam giác AIB có góc BAI > 900 à góc AIB 900
Nếu AC vuông góc với DC thì AB vuông góc với AC do vậy tam giác ABC vuông tại A
KT Bài 8 Cho tam giỏc ABC cú AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
* Phõn tớch tỡm lời giải
a) Để cm AE = AF 
 ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c)
Hoặc ∆AEF cõn tại A 
( Cú AH vừa là tia phõn giỏc , vừa là đương cao)
b) Để cm BE = CF 
 cần tạo tam giỏc chứa BE( hoặc cú 1 cạnh = BE) mà bằng tam giỏc MCF 
 + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c)
 Để cm BE = CF ∆ BEI cõn tại B Cú ( cặp gúc đồng vị ) mà vỡ ∆AEF cõn tại A 
AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF 
 2 AE = AB + AC hay 
Bài 11. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AB > AC) . Tia phõn giỏc gúc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuụng gúc với BC. Trờn tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuụng gúc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng :
 a) BA = BH 
 b) 
 c) Cho AB = 4 cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK
HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – gúc nhọn)
 b) Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với EK , cắt EK tại I 
 Ta cú : , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) 
 mà 	
 c)Chu vi tam giỏc DEK = DE + EK + KD = .. = 2.4 = 8 cm
* Từ bài ta thấy khi thỡ chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu cú chu vi ∆DEK = 2 thỡ ta cũng cm được .