Đề thi chọn thi học sinh giỏi - Năm học 2016 - 2017 môn Toán 7 - Đề số 3

 Toán 7 
 Kỳ thi chọn thi HSG - năm học 2016-2017
 Thời gian : 12o phút .
Đề số 3 :
Bài 1: (6 điểm)
a, Tính : 
b, Tìm các số nguyên tố x, y sao cho : 51x+26y=2000
c, Tìm số tự nhiên n, biết: (214:1024).2n=128
Bài 2 ( 4,0 điểm ) 
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 108 m. Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn đó biết chúng lần lượt tỉ lệ với 4 và 3
Bài 3: (2,0 điểm)
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = (Biết rằng các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 4: (6,0 điểm) 
Cho góc vuông xAy. C là một điểm thuộc tia phân giác Az của góc xAy. D là hình chiếu của C trên Ax, B là hình chiếu của C trên Ay. Trên các đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng AD+AB. Trên tia Dx lấy điểm E sao cho DE=QB. Chứng minh rằng:
a, CDE=CBQ
b, PC là tia phân giác của góc DPQ.
c, Góc PCQ có số đo bằng 450.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho đa thức f(x)= ax2+bx+c với a, b, c là các số thực thỏa mãn 13a+b+2c=0. Chứng tỏ rằng: f(-2).f(3)0
Hết./.
HƯỚNG DẪN CHẤM - Đề số 3 .
Câu
Nội dung cấn đạt
Điềm
Bài 1
6,0đ
a,
2,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b,
2,0đ
Ta có: 51x+26y=2000; 26x2; 20002 suy ra 51x2
 mà 51 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x2.
Mặt khác x là số nguyên tố nên x=2
Do đó, ta có: 51.2+26y=2000=>y=73 là số nguyên tố
Vậy x=2; y=73
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
c, 
2,0đ
(214:1024).2n=128
(214:210).2n=128
24.2n=27
24+n=27
4+n=7
n=3
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2
4,0 điểm
Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ta có:
=>a=4k; b=3k
Diên tích mảnh vườn là: a.b=4k.3k=12k2=108
=> k2=9=>k=3
=>a=12;b=9
1,0đ
1,0đ
1,0đ
1,0đ
Bài 3
2,0điểm
b2 = ac=>
Do đó: = 
0,75đ
1,0đ
0,25đ
Bài 4
6,0 đ
0,25đ
a,
1,75
a, Xét CDE và CBQ, có:
DC=CB(T/c điểm thuộc tia phân giác)
DE=QB(gt)
Do đó CDE=CBQ(c.g.c)
1,75đ
b, 
2,0
b, Ta có : AP+PQ+AQ=AD+AB(GT)(1)
EP+AP+AQ=DP+AP+AQ+QB=AD+AB(2)
Từ (1)(2)=>EP=PQ
Xét CEP và CQP, có:
CP chung
CE=CQ(Cạnh tương ứng của hai tg bằng nhauCDE=CBQ)
EP=PQ(c/m trên)
Vậy,CEP=CQP(c.c.c)
=>=>PC là tia phân giác của góc DPQ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
c,
2,0
c, Kẻ CIPQ
Chứng minh được các cặp tam giác bằng nhau:
CDP=CIP(Cạnh huyền-góc nhọn);CBQ=CIQ(Cạnh huyền-Cạnh góc vuông)
Từ đó chứng minh được CP,CQ lần lượt là tia phân giác của các góc DCI, ICB
Chứng minh được 
1,0đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
2,0điểm
Ta có: f(-2)=a.(-2)2+b(-2)+c=4a-2b+c;f(3)=a.32+b.3+c =9a+3b+c
=>f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0=>f(-2)=-f(3)
=>f(-2).f(3)=-[f(3)]2 0 
0,75đ
0,75đ
0,5đ
Lưu ý:
+, Bài 4: Nếu học sinh không vẽ hình thi không chấm điểm
+, Học sinh giải theo cách khác đúng, phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm tối đa