Đề thi chọn HSG lớp 11 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011 môn: Toán dành cho học sinh THPT không chuyên

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (2 điểm)
Giải phương trình:
Câu II (2,5 điểm)
1. Cho khai triển:
a. Tính tổng 
b. Chứng minh đẳng thức sau:
2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.
Câu III (2,5 điểm)
1. Cho dãy số được xác định như sau
,
với mọi . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. Tính giới hạn:
Câu IV (3 điểm)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . 
1. Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác .
2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo .
-------------------Hết-------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
Đáp án gồm 3 trang
Câu
Nội dung
Điểm
I
2 điểm
ĐK 
0,5
Khi đó phương trình đã cho trở thành
0.5
0,5
+) không thỏa mãn ĐK
0,25
+) (thỏa mãn ĐK) 
0,25
II
2,5điểm
1.a (1,5 điểm)
Từ khai triển trên lần lượt cho ta được
0,5
0,5
Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được
0,5
1.b (0,5 điểm)
Xét từ khai triển trên ta có:
Hệ số của trong vế trái bằng 
0,25
Hệ số của trong vế phải bằng
Từ đó ta có đẳng thức
0,25
2. ( 0,5 điểm)
+) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có cho 8 vị trí còn lại. Vậy 
0,25
+) Giả sử ta thấy tổng các phần tử của B bằng nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập nên số các số loại này là 
. Vậy xác suất cần tìm là 
0,25
III
(2,5 điểm)
1. (1 điểm)
Từ công thức truy hồi của dãy ta được
0,5
Do đó . Từ đó 
0,5
2. (1,5 điểm)
Ta có 
0,5
0,5
0,5
IV
(3 điểm)
1. (1,5 điểm)
Ta có và nên . 
0,25
Tương tự ta chứng minh được . Từ đó ta suy ra .
0,5
Gọi là giao điểm của và . Khi đó chính là giao điểm của và mặt phẳng . 
0,25
Do suy ra là trọng tâm của tam giác .
0,5
2. (1,5 điểm)
Đặt 
và 
0,25
Ta có 
0,25
Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có
Vậy M, N là các điểm sao cho 
0,5
Do đó ta có 
0,5