Đề thi chọn HSG lớp 10 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011 môn: Toán (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình 
2. Giải phương trình 
Câu II (1,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương sao cho mỗi một trong các số
là một số nguyên.
Câu III (2,0 điểm)
1. Giả sử là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên sao cho 
2. Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có bất
đẳng thức 
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY.
2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu V (1,0 điểm)
Kí hiệu chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử là hàm số thỏa mãn các điều kiện và với mọi . Tính các giá trị của và .
-------------Hết-------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT chuyên)
Đáp án gồm 4 trang
Câu
Nội dung
Điểm
I (3 điểm)
I.1 (3 điểm)
+) Nếu thay vào hệ ta có hệ này vô nghiệm
0,5
+) Nếu thì ta đặt thay vào hệ ta được
0,5
0,5
0,5
. 
0,5
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
0,5
I.2 (1 điểm)
ĐK với điều kiện này phương trình được đưa về dạng
0,25
Đặt thay vào phương trình trên ta được
0,25
+) phương trình này vô nghiệm
0,25
+) giải phương trình này được nghiệm . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .
0,25
II
(1 điểm)
Giả sử tìm được bộ ba số trong đó là các số hữu tỉ dương sao cho có các số nguyên dương thỏa mãn
Từ đó . Suy ra 
0,25
Đặt trong đó ta được
 (1)
0,25
Do nên nếu là một số nguyên tố sao cho thì hoặc hoặc do đó không chia hết cho . Do đó
0,25
Suy ra Từ đó tìm được và các hoán vị và vì vậy và các hoán vị.
0,25
III
(2 điểm)
III. 1 (1,0 điểm)
Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử không tồn tại số tự nhiên nào thỏa mãn thì với mọi số tự nhiên ta luôn có
0,5
Lần lượt cho và cộng từng vế của bất đẳng thức ta được . Mâu thuẫn với giả thiết nên ta có đpcm.
0,5
III.2 (1,0 điểm)
Áp dụng bđt AM – GM cho số và số ta có
0,25
Tương tự ta được
Cộng từng vế các bđt trên ta được
 (1)
0,25
Áp dụng bđt AM – GM cho số và ta được
. Tương tự ta có 
0,25
Cộng từng vế của các bđt trên ta được
Kết hơp với (1) ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra .
0,25
IV
(2 điểm)
IV. (1 điểm)
+) Do các tứ giác và nội tiếp nên
Suy ra là phân giác của góc Tương tự cũng được là phân giác của góc và là phân giác của góc Từ đó là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác 
0,5
+) Do 
0,25
+) Ta có
 và . 
Do đó nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
0,25
IV.2 (1 điểm)
+) Do tứ giác nội tiếp và tiếp xúc với nên 
Suy ra Tương tự cũng có 
0,5
+) Từ đó, với thì phép vị tự tâm tỷ số biến tam giác thành tam giác . Và do đó biến (tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ) thành (tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ) suy ra thẳng hàng.
0,5
V
(1 điểm)
Đặt . Cho .
Cho . Cho 
Cho nên .
0,25
Mặt khác với mỗi số tự nhiên
Từ (1) cho ta có
 .
0,25
Theo trên ta chứng minh được với . Ta chứng minh bằng quy nạp . Thật vậy, với từ đẳng thức (1) ta có:
Do đó 
0,5