Đề thi chọn học sinh năng khiếu năm học 2015 – 2016. lần 1 môn: Toán 8

TRƯỜNG THCS VĂN MIẾU
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
NĂM HỌC 2015 – 2016. LẦN 1
Môn: Toán 8
(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
( Đề thi có 01 trang )
Câu 1 (4,0 điểm). 
	a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức là số nguyên tố.
	b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì .
Câu 2 (4,0 điểm).
	a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho 
	b) Tính giá trị của biểu thức .
Biết abc = 2014.
Câu 3 (4,0 điểm).
	a) Giải phương trình .
	b) Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện .
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC.
	a) Chứng minh rằng đồng dạng với ;
	b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng đồng dạng với ;
	c) Chứng minh rằng ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO. 
Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. 
	Chứng minh rằng: .
–––––––––––– Hết ––––––––––––
Họ và tên thí sinh ........................................................................ SBD.....................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn Toán - Lớp 8
Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./.
Câu 1 ( 4,0 điểm). 
	a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức là số nguyên tố.
	b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì .
Đáp án
Điểm
a) Phân tích 
0,50
Nhận xét: với mọi số tự nhiên n. 
0,50
Để A là số nguyên tố thì n - 3 = 1, hay n = 4.
0,50
Thử lại: n = 4 thì P = 103 là số nguyên tố. 
Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 4.
0,50
b) Với n = 0 thì thỏa mãn.
0,50
Giả sử bài toán đúng với n = k (). Tức là: 
0,50
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k +1. Thật vậy:
0,50
Vậy: với mọi số tự nhiên n.
0,50
Câu 2 (4,0 điểm).
	a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho 
	b) Tính giá trị của biểu thức: 
Biết abc =2014.
Đáp án
Điểm
Do vai trò của x, y, z bình đẳng nên không mất tính tổng quát, giả sử 
0,50
+ Với 
0,50
+ Với 
0,50
Vậy: (x, y, z) = (2, 3, 6) và các hoán vị .
0,50
b) 
1,00
1,00
Câu 3 (4,0 điểm).
	a) Giải phương trình 
	b) Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện 
Đáp án
Điểm
a)
0,25
0,25
Đặt 
0,25
+ Với 
0,50
+ Với 
( PT vô nghiệm)
0,50
Tóm lại: Phương trình có tập nghiệm 
0,25
b) Vì . Mà 
Tóm lại: 
1,00
Lại có: . Mà 
nên 
1,00
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC.	a) Chứng minh rằng đồng dạng với ;
	b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng đồng dạng với ;
	c) Chứng minh rằng ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO. 
Đáp án
Điểm
* Vẽ hình:
0,50
a) Ta có: .
Chứng minh tương tự: . Suy ra: (g-g)
1,50
b) Vì , mà ( so le trong, OM//AD). Suy ra: (c-g-c)
1,50
c) Vì bù =>H, G, O thẳng hàng.
1,25
Lại có: 
1,25
Câu 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. 
	Chứng minh rằng: 
Đáp án
Điểm
Vì 1 + b2 2b > 0 nên
0,75
 Tương tự , 
0,25
Do đó VT (1)
0,25
Mặt khác 
nên (2). Suy ra: đpcm
0,75
-------------------HẾT---------------