Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Phù Ninh (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0 điểm)
	Cho A = 3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016.
 	a) Tính A.
	b) Tìm chữ số tận cùng của A.
	c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
	a) Tìm x, biết:
 b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu số tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Câu 3. (3,0 điểm) 
	Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
	a) Tìm a.
	b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Câu 4. (6,0 điểm). 
Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ΔABC = ΔEMA 
Chứng minh: MA BC
 Câu 5. (3,0 điểm): 
 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=
 2) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0
------------------------- Hết ------------------------
Họ và tên thí sinh: . Số báo danh ..............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán
Bài 1 (4,0 điểm)
Câu
Nội dung
Điểm
a/
(1,5 đ)
Ta có: A = 3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016
 3A = 32 + 33 + 34 +  + 32016 + 32017
0,5
Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 +  + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016)
0,5
A = .
0,5
b/
(1,5 đ)
Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) +  +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)
 = 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33)
0,75
 = 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013)
0,5
 Suy ra A có chữ số tận cùng là 0
0,25
c/
(1,0 đ)
Lập luận được A chia hết cho 3
0,25
Lập luận được A không chia hết cho 32
0,25
Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương
0,5
Câu 2 (4,0 điểm)
Câu
Nội dung
Điểm
a/
(2,0 đ)
Lập luận được > 0.
0,5
Nên Þ = 3 Þ 
0,75
Þ x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 Þ x = 2 hoặc x = 0.
0,5
Vậy x = 2 ; x = 0
0,25
b/
(2,0 đ)
Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là thì ta có
 và 
0,5
Þ Þ 
0,75
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 = = Þ 
0,5
Vậy 3 phân số cần tìm là .
0,25
Câu 3: (4,0 điểm) 
a/
(1,5đ)
Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có:
 a2- a = a(a+1) +4.
0,5
Þ a2 - a = a2 +a + 4 Þ a = -2.
0,75
Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
0,25
b/
(1,5đ)
Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4 
Þ f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2.
0,5
Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) Þ -6x + 6 = 6x + 2 Þ x = .
0,75
Vậy khi x = thì f(3x- 1) = f(1- 3x).
0,25
Câu 4: (6 điểm). 
a/ 
Xét ΔADC và ΔBAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )
=> ΔDAC = ΔBAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét ΔAIE và ΔTIC
I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( do ΔDAC = ΔBAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
2,0
b/ Ta có: ΔMNE = ΔAND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt) 
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ΔABC = ΔEMA (đpcm)
2,0
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH
Xét ΔAHC và ΔEPA có:
CAH = AEP (do cùng phụ với góc PAE)
AE = CA ( gt)
PAE = HCA (do ΔABC = ΔEMA câu b)
=> ΔAHC = ΔEPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
2,0
Câu 5. (3,0 điểm): 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 
 A= 
 A= 
Đặt B= do Với mọi giỏ trị của x
 Mà tử là một số dương không đổi mẫu số đạt GTNN bằng 2018 dấu “=” xẩy ra khi 
Vậy B đạt GTLN bằng mà 1 là số dương không đổi A=1-B đạt GTNN MinA= 1-= 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
 x – 2xy + y = 0
 2x – 1 – 4xy + 2y = –1
 (2x – 1) (1 – 2y) = –1
Vì x, y Z nên (2x – 1) và (1 – 2y) Z 
TH 1: ( Thỏa mãn )
TH 2: ( Thỏa mãn )
Vậy (;) = ( 1;1), (0;0)
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
------------------------- Hết -------------------------