Đề thi chọn học sinh giỏi vòng I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Bình Giang (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu I (2,0 điểm).
Cho biểu thức: với 
1) Rút gọn A 
	2) Chứng tỏ rằng: 
Câu II (2,0 điểm).
1) Giải phương trình: 
2) Tìm x, y sao cho: 
Câu III (2,0 điểm).
1) Tìm số nguyên x, sao cho : với p là số nguyên tố.
2) Tìm m để hàm số bậc nhất là hàm số nghịch biến.
Câu IV (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết , tính độ dài dây BC theo R.
2) Cho , BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp là r. Chứng minh rằng: .
Câu V (1,0 điểm).
Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
–––––––– Hết ––––––––
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu I
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
, với 
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1,0 đ)
Xét 
Do 
0.50
0.25
0.25
Câu II
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
ĐKXĐ: 
Đặt 
Với (TMĐK)
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1,0 đ)
ĐKXĐ: 
 (1)
Vì 
. 
Để (1) xẩy ra thì 
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu III
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
Theo bài ra: mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp nên là số chẵn p là số chẵn. 
Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 
 x = 1 hoặc x = - 2 (TM)
0.25
0.25
0.50
2
(1,0 đ)
Để hàm số nghịch biến thì (1). 
(1) 
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu IV
(3,0 điểm)
1a
(1,0 đ)
Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK 
 (gt)
 là hình bình hành
I là trung điểm của BC (gt) 
 là trung điểm của HK
O là trung điểm của AK (gt)
 là đường trung bình của 
0.25
0.25
0.25
0.25
1b
(1,0 đ)
 cân tại O 
 (T/c góc ngoài của tam giác)
Chứng minh tương tự: 
 cân tại O 
Vì I là trung điểm của BC (gt) 
Trong : 
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1,0 đ)
C/m được AB + AC = 2r + a
BĐT (1) đúng , dấu “=” xảy ra khi v/cân tại A.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu V
(1,0 điểm)
(1,0 đ)
Do , đặt với x = 1 + a – 3y, thay vào biểu thức C: 
. 
 khi:
0.25
0.50
0.25
* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.