Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Bảng B - Năm học 2014-2015 - Sở GD & ĐT Nghệ An (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm):
Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.
b. Cho các số nguyên dương thỏa mãn: 
 Chứng minh là hợp số .
Câu 2.(5 điểm): 
 	 a. Giải phương trình: .
 	 b. Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (3 điểm):
 	Cho là các số thực dương thỏa mãn: 
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 4. (6 điểm):
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O). Gọi M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MH, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C, D.
a. Chứng minh AC.BD = AH.BH
b. Xác định vị trí của điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ nhất.
Câu 5. (2 điểm):
	Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.
..............Hết..............
Họ và tên thí sinh.............................................Số báo danh...........
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG B	
( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
4.0đ
a
2.0đ
Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 119 là số chính phương.
Đặt n2 + 119 = k2 ; kN, k > n
0.5
Suy ra k2 – n2= 119 => (k-n)(k+n) =119 
0.5
Vì k, n là các số nguyên dương và k > n =>
k-n; k+n là các số nguyên dương và k+n > k-n
Mặt khác 119 = 1.7.17 => (k-n)(k+n) =119
0.5
 hoặc => n = 5; 59
0.5
b
2.0đ
Vì (1)
Xét a2 +b2 +c2+ d2 –(a+b+c+d) = (a2 –a)+(b2 –b)+(c2 -c)+( d2-d)
0.5
= a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1) 2
0.5
Mà a2 +b2 +c2+ d2= 2(a2 +b2) 2=> a+b+c+d 2 (2)
0.5
Từ (1)và (2) => ĐPCM
0.5
Câu 2
5.0đ
a
2.5đ
ĐKXĐ 
0.25
Đặt ĐK b 0
0.25
 phương trình trở thành 
0.5
=> 
0.5
(TMĐK)
0.5
 => x -1 =1 => x = 2 (TMĐKXĐ) Vậy pt có nghiệm là x =2
0.5
2b 2.5đ
0.5
x2y+ xy2+y = 0 ó y(x2+xy+1)=0 
0.5
Với 
0.5
Với
 có PTVN
0.5
Vậy hệ pt có nghiệm là 
0.5
Câu 3
3.0đ
Ta có 
0.5
Tương tự 
0.5
0.5
Vì abc=1 
0.5
0.5
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy giá tri lớn nhất của P là tại 
0.5
Câu 4
6.0đ
4a
3 đ
Tứ giác AHMC nội tiếp → = 
 Tứ giác BDMH nội tiếp → = 
0,75
→ + = + = 900
 → = 900 → = (cùng phụ )
0,75
Mà = = 900 
0,75
→ ∆ ACH đồng dạng với ∆ BHD 
=> => AC.BD = AH.BH
0,75
4b
3đ
Ta có: SCHD= HC.HD. 
Theo định lý Pitago: HC2= AC2+AH2; HD2= BH2+BD2 
0,5
→ SCHD= . ≥ . 
0,5
SCHD ≥ = 
0,5
(vì AH. BH= AC. BD) → SCHD≥ AH. BH không đổi
Đẳng thức xảy ra ↔ AC= AH và BD= BH
Cách dựng điểm M :Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC=AH. Vẽ đường tròn đường kính HC cắt nửa đường tròn (O) tại M. Kẻ tia CM cắt tia By tại D. 
Khi đó 
và 
=> tam giác BHD vuông cân tại B => DB = BH
0,5
Vậy GTNN của SCHD = AH. BH khi M là giao điểm của đường tròn đường kính HC với nửa đường tròn (O) 
0,5
Câu 5
2.0đ
Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng 6cm . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC => MN, MP, NP chia tam giác ABC thành 4 tam giác đều bằng nhau. 
0,5
Gọi O, O1, O2, O3 ;lần lượt là tâm các tam giác đều MNP, AMN, BMN,CMN.
 Từ O, O1, O2, O3 vẽ các đoạn thẳng vuông góc đến các cạnh của tam giác đều MNP, AMN, BMN,CMN (hình vẽ)
0,5
Khi đó tam giác ABC được chia thành 12 tứ giác bằng nhau và mỗi tứ giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính bằng nhau và bằng O1A
Mà O1A= AP=
0,5
Mặt khác có 121 điểm thuộc 12 tứ giác trên nên theo dirichle có một tứ giác chứa ít nhất ( điểm)
=> ĐPCM
0,5
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
 - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.