Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT HẢI DƢƠNG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
(Đề thi có 01 trang) 
Câu 1 (2,0 điểm). 
a) Cho biểu thức 2 2P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x          với 1 x 1   . 
Tính giá trị của biểu thức P khi 
1
x
2017
  . 
b) Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn a b c a b c 2      . 
Chứng minh rằng: 
a b c 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)
  
     
Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:  2 22x 2x 1 (2x 1) x x 2 1       
 b) Giải hệ phương trình: 
 
22
3
x y 1 xy x 1
2x x y 1
     

  
Câu 3 (2,0 điểm). 
a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: 2 22x 2y 3x 6y 5xy 7     . 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 2n 2n n 2n 18 9     là số chính phương. 
Câu 4 (3,0 điểm). 
1) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau 
tại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M 
(M khác A). 
 a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vuông góc với HM. 
 b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích 
BHC đạt giá trị lớn nhất. 
2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung 
BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường 
thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường 
thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn 2 2 2a b c 3   . 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a 3ab b b 3bc c c 3ca a
3
6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a
     
  
     
. 
***************Hết*************** 
Họ và tên thí sinh:.Số báo danh:.. 
Chữ kí giám thị 1:..Chữ kí giám thị 2:. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 Câu 1 (2,0 điểm). 
a) Cho biểu thức 2 2P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x          với 1 x 1   . 
Tính giá trị của biểu thức P khi 
1
x
2017
  . 
b) Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn a b c a b c 2      . 
Chứng minh rằng: 
a b c 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)
  
     
 Bài làm 
a. 2 2P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x          
2 2P 1 x 1 1 x 1 1 x        
 
(vì 1 x 1   ). 
Lúc đó suy ra  2 2P (1 x) 2 2 1 (1 x ) 2(1 x)(1 x )        . 
Mà 2 2P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x 0           .Nên từ đó ta suy ra P 2(1 x)  (vì 
1 x 0  ) .Vì 
1
x 0
2017
   nên suy ra
2018
P 2
2017
 . 
b. x a;y b;z c xy yz xz 1 a 1 (x y)(x z)            . 
Tương tự ta có b 1 (z y)(x y);c 1 (z x)(z y)        .Nên lúc đó ta có : 
a b c 2(xy yz xz) 2
VP
1 a 1 b 1 c (x y)(y z)(z x) (1 a)(1 b)(1 c)
 
    
        
Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:  2 22x 2x 1 (2x 1) x x 2 1       
 b) Giải hệ phương trình: 
 
22
3
x y 1 xy x 1
2x x y 1
     

  
Bài làm 
a.    2 2 2 2 22x 2x 1 (2x 1) x x 2 1 (x x 2) x x 1 (2x 1) x x 2 1 (1).                  
Đặt  2 2 2t x x 2 1 x x 2 (t 1)         .Thay vào pt (1) ta có : 
t x
(t x)(t x 1) 0
t x 1

       
. 
Với 
2 2
x 1 1
t x x
x x 2 (x 1) 3
 
   
   
. 
Với 
2 2
x 1
t x 1 x 2
x x 2 x
 
    
  
. 
Vậy nghiệm phương trình là 
1
x ;x 2
3
  . 
b. 
 
22
3
x y 1 xy x 1
2x x y 1
     

  
(I) . 
 
22
3
x y 1 x(y 1) 1
(I)
2x x y 1
     
 
  
. 
Đặt t= y+1 ta có hệ 
2 2 2 2
3 2 2
x t xt 1 x t 1x t xt 1
(I)
x t 1x t2x (x t)(x t xt)
         
    
      
. 
Vậy nghiệm hệ là (1;0);(-1;-2). 
Câu 3 (2,0 điểm). 
a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: 2 22x 2y 3x 6y 5xy 7     . 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 2n 2n n 2n 18 9     là số chính phương. 
Bài làm 
a. 2 22x 2y 3x 6y 5xy 7 (x 2y)(2x y 3) 7           . 
Xét tất cả trường hợp ta có nguyên (x;y) là (3;2);(-5;-6);(-7;-4);(1;4). 
b. 2 2n 2n n 2n 18 9     là số chính phương. 
Lúc đó suy ra 2n 2n 18  là số tự nhiên .Đặt 2n 2n 18 k(k )    .Ta có 
2n 2n 18 k(k ) (k n 1)(k n 1) 17          .Vì k,n đều là tự nhiên và k n 1 k n 1     
nên ta xét trường hợp sau : 
k n 1 17 k 9
k n 1 2 n 7
    
 
    
.Lúc đó 2 2 2n 2n n 2n 18 9 81 9       . 
Vậy n = 7 thỏa đề 
Câu 4 (3,0 điểm). 
1) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau 
tại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M 
(M khác A). 
 a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vuông góc với HM. 
 b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích 
BHC đạt giá trị lớn nhất. 
2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung 
BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường 
thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường 
thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn 2 2 2a b c 3   . 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a 3ab b b 3bc c c 3ca a
3
6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a
     
  
     
. 
Bài làm 
Đặt vế trái của (1) là M .Ta có 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
a 3ab b a 3ab b
6a 8ab 11b (2a 3b) 2(a b) (2a 3b)
2a 3b6a 8ab 11b
   
         
 
. 
Tiếp tục ta chứng minh 
2 2
2a 3ab b 3a 2b (a b) 0
2a 3b 5
  
   

(luôn đúng ). 
Tương tự ta có 
2 2 2 2
2 2 2 2
b 3bc c 3b 2c c 3ca a 3c 2a
;
5 56b 8bc 11c 6c 8ca 11a
     
 
   
. 
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có 
3b 2c 3a 2b 3c 2a
M a b c
5 5 5
  
      . 
Mà ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ca) a b c (a b ) (c a ) (b c )                 . 
Hay 2 2 2 2(a b c) 3(a b c ) 9 a b c 3          .Vậy M 3 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
a b c 1   
CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI 
,NHƢNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN 
TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƢỠNG HSG TỈNH 
HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI –VÙNG ĐẤT 
NGHÈO NHẤT VIỆT NAM 
Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! 
Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình 
không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi 
như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn 
Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải không ra 
.Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn cho xã hội không tận 
dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà và tiền .Kẻ như tôi thì 
không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành 
của giáo dục Việt Nam .Tại sao người ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 
1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 
700 trăm nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người bần cùng ,kẻ 
thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt 
tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thượng 
lưu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như bèo mà 
“cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa “ 
Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! 
Tôi tên là :Trương Quang An 
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 
15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự nhưng hoàn cảnh gia 
đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa 
.sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương 
,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ 
chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học 
.Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm 
phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam 
mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn 
dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra 
Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí 
.Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí 
TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người 
đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi 
thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ 
Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí 
Tên : Trương Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 
 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng 
dạy toán cho 1 trường cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học 
vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học .Sau đó tôi về 
quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : 
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường 
Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần 
đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường . 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra kỳ này 
của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục chuyên đề của 
đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và 
tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm 
thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê Quảng Ngãi 
-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi 
thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán 
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không thành 
hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi 
-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày bọn trẻ 
xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là 
một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi 
mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố 
gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được 
tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất 
cuộc đời tôi .Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp 
chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm 
năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên 
cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi 
không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn 
,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm 
quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui 
lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi 
hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có 
lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam 
mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run 
luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã 
lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua 
mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối 
với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak 
.Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận 
mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy 
kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra 
xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin 
được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm 
qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có 
.Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới 
nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ 
khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua 
thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các 
bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy 
viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì 
chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi 
trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở 
Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên 
đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn 
,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc 
phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi 
thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên 
trình độ cao đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được 
bằng nghề sư phạm , 
 Một ngƣời đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , 
 tạp chí toán tuổi thơ 
 Nghĩa Thắng ,Tƣ Nghĩa ,Quảng Ngãi 
 Trƣơng Quang An