Đề thi chon hoc sinh giỏi THCS năm hoc 2006 - 2007 môn Toán lớp 9

PHOÌNG GIAÏO DUÛC TP. HUÃÚ 	
KYÌ THI CHOÜN HOÜC SINH GIOÍI THCS NÀM HOÜC 2006 - 2007
MÄN TOAÏN - LÅÏP 9
Thåìi gian: 120 phuït (khäng kãø thåìi gian giao âãö)
Baìi 1 (2 âiãøm): Cho biãøu thæïc 
a) Phán têch A thaình nhán tæí.
b) Tçm càûp säú x, y thoaí maîn âiãöu kiãûn y - x = âäöng thåìi A = 0
Baìi 2 (2 âiãøm):
	Cho biãøu thæïc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 våïi x, y, z, t laì caïc säú nguyãn khäng ám. Tçm caïc giaï trë cuía x, y, z, t âãø biãøu thæïc M coï giaï trë nhoí nháút thoaí maîn âiãöu kiãûn:
	2x2 - 2y2 + 5t2 = 30
	x2 + 8y2 + 9z2 = 168
Baìi 3 (2 âiãøm):
	Cho haìm säú f(x) = 	(x Î R)
a) Chæïng minh ràòng våïi hai giaï trë x1 , x2 tuyì yï cuía x sao cho 1≤ x1< x2 thç f(x1) < f(x2) 
b) Våïi giaï trë naìo cuía x thç 
Baìi 4 (4 âiãøm):
	Cho tam giaïc cán ABC (AB = AC), âæåìng cao AH. Trãn caûnh BC láúy 2 âiãøm M vaì E sao cho ME = BC (BM < BE). Qua M keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi BC càõt AB taûi D. Qua E keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi DE càõt âæåìng thàóng AH taûi N.
a) Chæïng minh: BM . BH = MD . HN
b) Chæïng toí N laì mäüt âiãøm cäú âënh.
c) Biãút AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tênh khoaíng caïch giæîa tám âæåìng troìn näüi tiãúp vaì tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp cuía tam giaïc ABC.
HÆÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃÖ THI HOÜC SINH GIOÍI NÀM 2006-2007
Män: Toaïn - Låïp 9
Baìi 1(2 âiãøm)
a) (1 âiãøm)
 (0,5 â)
 (0,5 â)
b) (1 âiãøm)
	 	hoàûc	 	hoàûc	
Û
Û
Û
* 	 
Hãû phæång trçnh 
vä nghiãûm
Û
Û
* 
Û
Û
* 
hoàûc
Û
Û
hoàûc
Váûy coï 3 càûp säú thoía maîn âiãöu kiãûn A = 0 vaì laì:
 (; ) ; (x = ; y = ) vaì (; )
Baìi 2 (2 âiãøm)
	Tæì 	2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168
	Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198
	 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2
 3M = 198 + 7t2
	Giaï trë nhoí nháút cuía M laì 66 khi t = 0
	Do âoï: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2)
	Tæì (1) Þ (x + y)(x - y ) = 15 
	Vç x, y laì caïc säú nguyãn khäng ám, nãn x + y = 15 vaì x - y = 1 (3)
	Hoàûc: x + y = 5 vaì x - y = 3 (4)
	Tæì (3) Þ x = 8, y = 7, caïc giaï trë naìy khäng thoía (2)
	Tæì (4) Þ x = 4, y = 1. Thay vaìo (2) ta coï:
	 16 + 8 + 9z2 = 168
 9z2 = 144
 z2 = 16
 z = 4 (z = - 4 loaûi)
	Váûûy giaï trë nhoí nháút cuía M laì 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = 0
Baìi 3 (2 âiãøm) 
a) 1 âiãøm
- Våïi x1 = 1, x2 >1 thç f(x1) = 0, f(x2) > 0 nãn f(x1) < f(x2) 
- Nãúu x ¹ 1, ta coï 
Våïi 1 
Do âoï: < hay f(x1) < f(x2) 
Váûy våïi 1£ x1 < x2 	 thç f(x1) < f(x2) 
b) 1 âiãøm 
f(x) > > > > 0
	 Û x (x - 2) > 0 Û x > 2 hoàûc x < 0 (1) 
 f(x) <Û< Û 4x2 - 8x + 4 < 3x2 - 6x + 6
	 Û x2 - 2x - 2 < 0 Û (x - 1)2 - 3 < 0 Û (x -1 + ) (x - 1 - ) < 0
	 Û 1 - < x < 1 + (2)
	Tæì (1) vaì (2) suy ra < f(x) < Û 1 - < x < 0 hoàûc 2 < x < 1 + 
Baìi 4 (4 âiãøm)
 A
 D
 B M H E C
 N
a) Xeït D MDE vaì D HEN coï:
 = = 900
 = (goïc coï caûnh tæång æïng vuäng goïc)
nãn DMDE ∾ DHEN , suy ra: 
Hay MD.HN = HE.ME
Do BH = ME () nãn BM = HE
Do âoï: MD.HN = BM.BH (1)
b) 	Tæì (1) Þ (2)
DABH coï MD//AH nãn (3)
Tæì (2) vaì (3) Þ Þ 
N Î AH cäú âënh vaì HN khäng thay âäøi nãn N laì âiãøm cäú âënh.
c)	
 A
K
I
 P 
 B H C
BC = 6cm Þ BH = 3cm
DAHB () coï AH2 = AB2 - BH2
 = 52 - 32 = 16 = 42
 Þ AH = 4cm
Goüi K laì tám âæåìng troìn näüi tiãúp ABC, thç BK laì phán giaïc cuía vaì K AH.
 Do âoï: 
Suy ra: 
 KH = 1,5cm
 KA = 2,5cm
Goüi I laì tám dæåìng troìn ngoaûi tiãúp DABC thç IP laì âæåìng trung træûc cuía caûnh AB vaì I AH nãn .
DABH () coï cos ()
DAPI () coï cos ()Þ
	Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)
Váûy khoaíng caïch giæîa tám âæåìng troìn ngoüai tiãúp vaì tám âæåìng troìn näüi tiãúp cuía tam giaïc ABC laì 0,625cm.