Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2014 - 2015 môn: Toán lớp 8

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2014 - 2015 
MÔN: TOÁN LỚP 8 
( Thời gian làm bài: 150 phút ) 
Câu 1. ( 4.0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) A = x4 + 1997x2 + 1996x + 1997; 
 b) B = 2 2 2 2 2(x y z )(x y z) (xy yz zx) .       
Câu 2. ( 4.0 điểm) 
 a) Một số điện thoại có 10 chữ số là 098219 abcd . Hãy tìm 4 chữ số cuối của số 
điện thoại đó, biết rằng bốn số này tạo thành một số chính phương và nếu ta thêm vào 
mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương. 
 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1, ta có : 
2 2
1 1 1 1 9
5 13 25 n (n 1) 20
    
 
 . 
Câu 3. ( 4.0 điểm) 
 a) Chứng minh rằng, với  x, y  , ta luôn có : 
2 2
2 2
x xy y 1
x xy y 3
 

 
; 
 b) Cho biết a + b + c = 9 và a, b, c > 0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c
P
a ab b b bc c c ca a
  
     
. 
Câu 4. ( 1.0 điểm ) Tìm các số nguyên x, y, z, biết : x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – 3. 
Câu 5. ( 7.0 điểm ) 
 1) Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6cm, AC = 
8cm. M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân các đường vuông 
góc kẻ từ M đến AB và AC. Khi đó tứ giác ADME có thể đạt được diện tích lớn nhất là 
bao nhiêu. 
 2) Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh 
của hình vuông ( gọi là tứ giác nội tiếp hình vuông ). 
Chứng minh rằng: 
 a)  ABCD
AC
S MN NP PQ QM
4
    ; 
 b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. 
 c) Xác định vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất. 
----------------Hết---------------- 
Họ và tên thí sinh:SBD: 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 
NĂM HỌC 2014-2015 
Câu 1 4 
điểm 
A = x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) 
 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) 
 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) 
 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997).  
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
B = 2 2 2 2 2 2 2(x y z ) 2(xy yz zx) (x y z ) (xy yz zx)            
Đặt 2 2 2x y z  = a, xy + yz + zx = b ta có 
B = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
 = ( 2 2 2x y z  + xy + yz + zx)2.  
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 2 4 
điểm 
a) Theo đề bài, ta có 2 2abcd x ; (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) y       
 y2 – x2 = 1111 (y – x)(y + x) = 1111. 
0,5 
x, y là các số có 2 chữ số (Vì x, y có từ 3 chữ số trở lên thì khi bình phương 
không thể là số có 4 chữ số và x, y cũng không thể là số có một chữ số ) 
0,5 
1111 chỉ có hai cách phân tích thành tích của hai số nguyên dương, đó là 
1111 = 11.101 = 1111.1 
0,25 
Vì (y – x)(y + x) = 11.101 
y x 11 x 45
y x 101 y 56
   
  
   
, thử lại thấy
2abcd 2025; 3136 y  (thỏa mãn) 
0,5 
Vậy bốn số cuối của số điện thoại đó là : 2025 và số điện thoại đó là : 
0982192025. 
0,25 
b) Ta có : 
2 2 2
1 1 1 1 1 1
k (k 1) 2k 2k 1 2k(k 1) 2 k k 1
 
    
      
 Với k = 2, ta có 
2 2
1 1 1 1 1
13 2 3 2 2 3
 
   
  
 Với k = 3, ta có 
2 2
1 1 1 1 1
25 3 4 2 3 4
 
   
  
.............................................................................. 
 Với k = n, ta có 
2 2
1 1 1 1
k (k 1) 2 k k 1
 
  
   
Câu 3 4 
điểm 
a) Ta có 
2 2
2 2 2 2
2 2
x xy y 1
3(x xy y ) x xy y
x xy y 3
 
      
 
0,5 
2 2 2 2 23x 3xy 3y x xy y 2(x y) 0         , bất đẳng thức cuối luôn 
đúng với  x, y  và phép biến đổi của chúng ta là tương đương nên bất 
đẳng thức đã cho luôn đúng. 
0,5 
b)Ta có 
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c
P
a ab b b bc c c ca a
  
     
0,5 
Xét 
3 3 3
2 2 2 2 2 2
b c a
Q
a ab b b bc c c ca a
  
     
 P – Q = 0  P = Q 0,5 
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c a c
2P
a ab b b bc c c ca a
  
  
     
0,5 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b b bc c c ca a
2P (a b) (b c) (a c)
a ab b b bc c c ca a
     
      
     
0,5 
Áp dụng bất đẳng thức a) suy ra 
1 1 1 2 a b c
2P (a b) (b c) (a c) (a b c) P 3
3 3 3 3 3
 
            
0,5 
Dấu bằng xảy ra  a = b = c = 3. Vậy Min P = 3  a = b = c = 3.  
Câu 4 2 
điểm 
0,5 
0,5 
0, 5 
0,5 
Câu 5 7 
điểm 
1) 2 
điểm 
0,25 
0,5 
 0,25 
Ta có: 
0,5 
0,25 
0,25 
2) 5 
điểm 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0.5 
0,5 
0,5 
0,5 
 0,5 
0,5 
Chú ý. Nếu học sinh có cách giải khác, đúng và lập luận chính xác thì vẫn cho điểm 
tuyệt đối.