Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2009 – 2010 môn: Toán 9

 SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 AN GIANG Năm học 2009 – 2010 
 Môn: TOÁN 
 Lớp: 9 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
 (Không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: (4,0 điểm) 
 Chứng minh rằng các số sau đây là những số nguyên: 
 1/. ( )2 52 12 5 27
3 1 3 3 1 3 3
a æ ö= - + +ç ÷- - -è ø
 2/. 4 5 3 5 48 10 7 4 3b = + + - + 
Bài 2: (6,0 điểm) 
 1/. Cho phương trình ẩn x , tham số m : 
 2 22( 1) 2 3 0- + + + - =x m x m m 
 Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x sao cho 
2 12008 2013< < <x x . 
 2/. Giải hệ phương trình: ( )
2 23 3
3 3
2( ) 3
6
ì + = +ï
í
ï + =î
x y x y xy
x y
Bài 3: (2,0 điểm) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
 ( ) ( )3 3 3 32 1 1 2 1 1= + + + + + - +y x x x x 
Bài 4: (4,0 điểm) 
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các tiếp tuyến tại A và C đồng 
quy với đường thẳng BD ở M. 
 Chứng minh rằng: AB. CD = BC. AD 
Bài 5: (4,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm 
M. Một đường thẳng D đi qua M cắt các cạnh CA, AB tại N và P. Chứng minh 
rằng: BM CM
BP CN
- không đổi, khi M và D thay đổi. 
---------------------------Hết--------------------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SBD: .. PHÒNG: .. 
Ubnd tØnh b¾c ninh 
Së gi¸o dôc vµ §µo t¹o 
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tØnh 
N¨m häc: 2009 - 2010 
M«n thi: to¸n – líp 9 - thcs 
(Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
Ngµy thi 14 th¸ng 4 n¨m 2010 
 C©u 1 (3,5 ®iÓm) 
1) Rót gän biÓu thøc: 2 3 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3
+ -
+
+ + - -
. 
2) Cho hµm sè f(x) = (x3 + 6x - 5)2010. TÝnh f(a), víi a = 33 173173 -++ . 
 C©u 2 (4,5 ®iÓm) 
1) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
2
2
2
x 2x y 2y x
y 2y z 2z y
z 2z x 2x z
ì - + =
ïï - + =í
ï - + =ïî
. 
2/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 3 2 1
3
x x x- - = . 
C©u 3 (4,0 ®iÓm) 
 Cho ®­êng trßn (O, R) néi tiÕp h×nh thang ABCD (AB//CD), víi E; F; G; H 
theo thø tù lµ tiÕp ®iÓm cña (O, R) víi c¸c c¹nh AB; BC; CD; DA. 
 1) Chøng minh EB GD
EA GC
= . Tõ ®ã, h·y tÝnh tû sè 
EB
EA
,biÕt: AB= 4R
3
 vµ BC=3R. 
2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm D vµ G sao cho ch©n ®­êng 
vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn DO lµ ®iÓm K n»m ngoµi (O, R). §­êng th¼ng HK c¾t (O, R) 
ë ®iÓm T (kh¸c H). Chøng minh MT = MG. 
 C©u 4 (4,0 ®iÓm) 
1/ Cho tam gi¸c ABC cã BC = a; CA = b; AB = c vµ R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn 
ngo¹i tiÕp tho¶ m·n hÖ thøc R(b + c) = a bc . H·y x¸c ®Þnh d¹ng tam gi¸c ABC. 
2/ Gi¶ sö tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï, cã hai ®­êng cao AH vµ BK. Cho 
biÕt AH ³ BC vµ BK ³ AC. H·y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. 
 C©u 5 (4,0 ®iÓm) 
1/ T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè tù nhiªn n vµ k ®Ó ( 4 2k 1n 4 )++ lµ sè nguyªn tè. 
2/ Cho c¸c sè thùc a vµ b thay ®æi tháa m·n 3 3a b 2+ = . T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ 
nguyªn cña (a + b). 
 -------------------HÕt -------------------- 
(§Ò thi gåm 01 trang) 
Hä vµ tªn thÝ sinh: ................................................. Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: 
Sè b¸o danh:............................... Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2: 
§Ò chÝnh thøc 
 THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P 9 THCS – T NH BÌNH NH 
MÔN TOÁN – Th i gian: 150 phút – Ngày 18 – 03 – 2009 
Bài 1: (3 i m) 
 Tìm t t c các c p s nguyên (m, n) sao cho 2n3 – mn2 – 3n2 + 14n – 7m – 5 = 0 
Bài 2: (3 i m) 
 Cho x, y, z là 3 s th c khác 0 và 1 1 1 0
x y x
 Ch ng minh r ng 2 2 2
yz zx xy 3
x y z
Bài 3: (3 i m) 
 Gi i h ph ng trình: 
x y 7
x 20 y 3 6
Bài 4: (4 i m) 
Cho i m O thu c mi n trong c a tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO c t các c nh 
tam giác ABC l n l t t i G, E, F. 
 Ch ng minh r ng OA OB OC 2
AG BE CF
Bài 5: (4 i m) 
Cho ng tròn (O), ng kính AB. Trên tia ti p tuy n Ax v i ng tròn (O) l y 
i m C sao cho AC = AB. ng th ng BC c t ng tròn (O) t i D, M là m t i m 
thay i trên o n AD. G i N và P l n l t là chân ng vuông góc h t M xu ng 
AB và AC, H là chân ng vuông góc h t N xu ng ng th ng PD. 
 a) Xác nh v trí c a M tam giác AHB có di n tích l n nh t. 
 b) Ch ng minh r ng khi M thay i, HN luôn i qua m t i m c nh. 
Bài 6: (3 i m) 
 Ch ng minh: 1 1 117 18
2 3 100
 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 GIA LAI Năm học: 2009 – 2010 
---------------------------------- Môn thi: TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) 
 ĐỀ BÀI: 
Câu 1: (2,5 điểm) 
 Chứng minh rằng 1975 20102 5+ chia hết cho 3. 
Câu 2: (2,5 điểm) 
 Chứng minh rằng nếu ( )( )2 21 1 1xy x y+ + + = , thì 2 21 1 0x y y x+ + + = . 
Câu 3: (3 điểm) 
 Cho 3 số dương , , a b c . Chứng minh bất đẳng thức: 
 2 2 2 a b b c c a
a b c ab bc ca
+ + ++ + £ + + . 
Câu 4: (3,5 điểm) 
 Cho phương trình ( )2 2 1 3 0x m x m- - + - = , mΡ . 
 a) Chứng minh rằng với mọi mΡ , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
1x và 2x . 
 b) Tìm số nguyên m để các nghiệm 1x và 2x cũng là số nguyên. 
Câu 5: (4 điểm) 
 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): 21
4
y x= và đường thẳng (d): 
1 y mx= + , mΡ . Chứng minh rằng với mọi mΡ : 
a) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 
b) Diện tích tam giác AOB không nhỏ hơn 1 . 2m + . 
Câu 6: (4,5 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp 
xúc với CA và CB lần lượt tại M và N. Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI tại 
P. Chứng minh rằng góc IPB vuông. 
 .............................HẾT............................... 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9 
 HÀ NỘI Năm học 2009-2010 
 Môn: Toán 
 Ngày thi : 31 - 3 - 2010 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
 (Đề thi gồm 01 trang) 
Bài I (4 điểm) 
Tính giá trị của biểu thức: 
A = 31 3 2010 2009( )x x x+ - với 
33(2 5). 17 5 38
5 14 6 5
x + -=
+ -
Bài II (4 điểm) 
1) Giải phương trình : 4 3 23 2 6 4 0x x x x+ - - + = 
2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
1xy x y a+ + = + 
 2 2x y xy a+ = 
Bài III (4 điểm) 
1) Giải bất phương trình: 
4 3
4 3 2
1 0
2 1
x x x
x x x x
+ + +
£
- + - +
2) Tìm giá trị lớn nhất của: 
B = 3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
 Với x, y, z là các số dương và x, y, z = 1 
Bài IV (6 điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). D là một điểm bất kì thuộc 
cung nhỏ AC (D khác A và C). Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D tới các đường 
thẳng AB, AC. Gọi P là giao điểm các đường thẳng MN, BC. 
1) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau. 
2) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC. Tính IO với R = 5cm, r = 1,6cm. 
Bài V (2 điểm) 
Tìm các số x, y nguyên dương để C là số nguyên dương với 
C = 
3
1
x x
xy
+
-
-------------------- Hết--------------------- 
( Giám thị không giải thích gì thêm) 
Họ và tên thí sinh:............................................................................................................. 
Số báo danh:..................................... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GD & ĐT HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010 
Đề chính thức Đề thi môn: toán 
 Ngày thi: 25 tháng 3 năm 2010 
 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) 
 ( Đề thi gồm có 01 trang) 
Bài 1: ( 6 điểm) 
1. Rút gọn biểu thức: 2 3 2 3 : 3
7 4 3 7 4 3
æ ö+ -
-ç ÷
ç ÷- +è ø
2. Biết: ( )( )2 25 5 5x x y y+ + + + = ; Tính giá trị của biểu thức A= x + y 
3. Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: ( n+ 1)( n+3)(n + 5)( n+ 7) + 15 ( yêu cầu 
phân tích thành 4 nhân tử bậc nhất) 
Bài 2: ( 6 điểm) 
1. Giải phương trình: x3 + 3x2 + x – 2 = 0 
2. Giải hệ phương trình: 
3 3
2
3 3
20 0
x x y y
x xy
ì + = +ï
í
+ - =ïî
. 
3. Cho hàm số y = mx + 1- x+ m ( m là tham số) 
Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt 2 trục tọa độ thành tam giác có diện tích là 
2. 
Bài 3: ( 5 điểm) 
1. Cho hình thang cân ABCD biết 2 đáy AB = 10, CD =22 và DB là phân giác của 
góc ADC. Tính diện tích hình thang. 
2. Cho 2 đường tròn (O; R) và ( I ; r) cắt nhau tại 2 điểm A, B. Biết R = 3; r = 4 và 
OI =5. Một cát tuyến qua B cắt 2 đường tròn lần lượt tại C và D. 
Chứng minh rằng: Tam giác ACD là tam giác vuông với mọi vị trí của cát tuyến CD. 
Bài 4: ( 1 điểm) Cho 2 số a, b thảo mãn a ³ 1; b ³ 4, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: 
A = 1 1a b
a b
+ + + . 
Bài 5:( 2 điểm) Tìm số chính phương có 4 chữ số thỏa mãn chữ số hàng ngìn và hàng 
trăm bằng nhau; Chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng nhau. 
Hết.. 
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 
NĂM HỌC 2009 – 2010 
Môn thi: TOÁN LỚP 9 - BẢNG A 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1. (4,5 điểm): 
 a) Cho hàm số 3 2010f (x) (x 12x 31)= + - 
 Tính f (a) tại 3 3a 16 8 5 16 8 5= - + + 
 b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 25(x xy y ) 7(x 2y)+ + = + 
Câu 2. (4,5 điểm): 
 a) Giải phương trình: 2 3 2 2x x x x x= - + - 
 b) Giải hệ phương trình: 
2
1 1 1 2
x y z
2 1 4
xy z
ì + + =ïï
í
ï - =
ïî
Câu 3. (3,0 điểm): 
 Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3
1 1 1A
x y 1 y z 1 z x 1
= + +
+ + + + + + 
Câu 4. (5,5 điểm): 
 Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ 
một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn 
tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD 
và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường 
thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: 
 a) MI.BE BI.AE= 
 b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5. (2,5 điểm): 
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn 
AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH PD^ tại H. 
Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. 
- - - Hết - - - 
 GV :TRương Quang Huệ - Quỳnh Bá – Q .L - Nghệ An.. 
Đề chính thức 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
TØnh ninh b×nh 
®Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS 
N¨m häc 2009- 2010 
M«n: To¸n 
C©u 1 (4,0 ®iÓm): 
1. Rót gän biÓu thøc: 1 1 1 1...
1 5 5 9 9 13 2006 2010
P = + + + +
+ + + +
2. Cho 3 35( 6 1) 5( 6 1)x = + - - . TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = x3 +15x 
C©u 2 (6,0 ®iÓm): 
1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 
2 2
2 2
2( 2) 0
2 16
x y xy
x y xy
ì + + - =ï
í
+ - =ïî
2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 4 3 316 5 6 4x x x+ = + 
C©u 3 (6,0 ®iÓm): 
 Cho tam gi¸c ABC cã · 060BAC = , AC = b, AB = c (víi b > c). §­êng kÝnh EF 
cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC vu«ng gãc víi BC t¹i M. Gäi I vµ J lÇn 
l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ E xuèng c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC. Gäi H vµ 
K lÇn l­ît lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ F xuèng c¸c ®­êng th¼ng AB vµ AC. 
1. Chøng minh c¸c tø gi¸c AIEJ vµ CMJE néi tiÕp. 
2. Chøng minh ba ®iÓm I, J, M th¼ng hµng vµ IJ vu«ng gãc víi HK 
3. TÝnh ®é dµi c¹nh BC vµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC 
theo b, c 
C©u 4 (2,0 ®iÓm): 
 Cho x > 0, y > 0 vµ 4x y+ £ . 
 TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
5 5M x y
x y
= + + + 
C©u 5 (2,0 ®iÓm): 
 T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x; y) tháa m·n: 5x - 3y = 2xy - 11. 
HÕT. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG NINH 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM 2009-2010 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
MÔN: TOÁN 
( BẢNG B) 
Ngày thi: 25/3/2010 
Thời gian làm bài: 150 phút 
( không kể thời gian giao đề ) 
Bài 1: ( 3,5 điểm ) 
Cho biểu thức : 
xy 2y 1 yz 2y 1 zx 2x 1A
xy x y 1 yz y z 1 zx z x 1
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + + 
( với x;y;z là các số thực có giá trị khác -1). Chứng minh A là một số 
nguyên. 
Bài 2: ( 3,5 điểm ) 
Tìm số tự nhiên a sao cho A=a2 +10a +136 có giá trị là số chính phương. 
Bài 3. (4điểm) 
Giải phương trình: 2 2
2 7 1
3x x 2 3x 5x 2 x
- =
- + + + 
Bài 4.( 7 điểm ) 
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB, 
M là điểm bất kỳ thuộc cung BC ( điểm M khác B và C ) AM cắt OC tại I. 
Kẻ CK vuông góc với AM ( KÎAM), OK cắt BC tại N 
a) Chứng minh IKNC là tứ giác nội tiếp 
b) Khi M di chuyển trên cung BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ICM luôn nằm trên một đường thẳng cố định. 
Bài 5: ( 2 điểm ) 
Trục căn thức ở mẫu: 3 3
2A
2. 2 2 4
=
+ + 
-------------------- Hết ------------------- 
 1 
Së Gi¸o dôc - §µo t¹o 
Th¸i B×nh 
§Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS n¨m häc 2009-2010 
M«n: To¸n 
Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
Bµi 1. (3 ®iÓm) 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 
2 4 4 2 4 22x y 2y y 5x 2y 5xy 2x 1+ + + + = + + 
Bµi 2. (3 ®iÓm) 
 Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
( )
( )
2 2
2
3 854xy 4 x y
3x y
1 132x
x y 3
ì + + + =ï +ï
í
ï + =ï +î
Bµi 3. (3 ®iÓm) 
 Chøng minh r»ng: NÕu ®a thøc P(x) = x4 + bx3 + cx2 + bx + 1 cã nghiÖm th× 2b c 2+ ³ . 
Bµi 4. (3 ®iÓm) 
 Cho x; y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: 4x2 + y2 = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña 
biÓu thøc: 
2x 3yA
2x y 2
+
=
+ +
. 
Bµi 5. (3 ®iÓm) 
 Tõ mét ®iÓm E ë ngoµi ®­êng trßn t©m O kÎ 2 tiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn t¹i A vµ B. 
Gäi M lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n AB (M kh¸c A vµ B, MA ≠ MB). Gäi C vµ D lµ 2 ®iÓm 
trªn ®­êng trßn sao cho M lµ trung ®iÓm cña CD. C¸c tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i C 
vµ D c¾t nhau t¹i F. Chøng minh r»ng tam gi¸c OEF lµ tam gi¸c vu«ng. 
Bµi 6. (3 ®iÓm) 
 Cho ®­êng trßn (O; R) vµ 2 ®iÓm A, B n»m ngoµi ®­êng trßn sao cho OA = R 2 . 
T×m ®iÓm M trªn ®­êng trßn sao cho tæng MA + 2.MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 
Bµi 7. (2 ®iÓm) 
 Mét tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè. NÕu ®æi chç 
hai ch÷ sè cña sè ®o c¹nh huyÒn ta ®­îc sè ®o cña mét c¹nh gãc vu«ng. TÝnh b¸n 
kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®ã. 
--- HÕt --- 
®Ò chÝnh thøc 
K× thi chän HSG TØnh Thanh Hãa 
N¨m häc: 2009 - 2010 
Bµi 1. (4 ®iÓm ) 
 Cho biÓu thøc: P = 2 1.
11 2 1 2 1
x x x x x x x x
xx x x x x
æ ö+ - + -
- +ç ÷ç ÷-- + - -è ø
 a) Rót gän biÓu thøc P. 
 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi 
( )( )5 2 6 49 20 6 5 2 6
4 9 3 11 2
x + - -
=
-
Bµi 2. (5 ®iÓm ) 
 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2 2
2 13 6
3 5 2 3 2
x x
x x x x
+ =
- + + +
 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 2
( 3 ) 4
4 5
x x y
y xy
+ =ì
í = -î
Bµi 3. (3 ®iÓm ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
 A = ( )( )( ). y z x yz xx y y z z x
x y z
æ ö+ ++
+ + + + +ç ÷ç ÷
è ø
 Víi x, y, z lµ ba sè thùc d­¬ng thay ®æi cã tæng 
b»ng 2 
Bµi 4. (6 ®iÓm ) 
 Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O). Mét 
®­êng th¼ng d thay ®æi nh­ng lu«n ®i qua A c¾t hai 
tiÕp tuyÕn t¹i B vµ C cña ®­êng trßn (O) t­¬ng øng 
t¹i M vµ N. §­êng th¼ng d c¾t ®­êng trßn (O) t¹i ®iÓm 
thø hai lµ E kh¸c A. MC c¾t NB t¹i F . Chøng minh r»ng: 
 a) Hai tam gi¸c ACN vµ MBA ®ång d¹ng; hai tam 
gi¸c MBC vµ BCN ®ång d¹ng 
 b) Tø gi¸c BMEF néi tiÕp ®­îc ®­êng trßn 
 c) Khi d thay ®æi nh­ng lu«n ®i qua A th× ®­êng 
th¼ng EF lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh 
Bµi 5. (2 ®iÓm ) 
 Trªn mét ®­êng trßn cho 6 ®iÓm ph©n biÖt. Hai 
®iÓm b¾t k× trong 6 ®iÓm nµy ®Òu ®­îc nèi víi nhau 
b»ng mét ®o¹n th¼ng mµu xanh hoÆc mµu ®á. Chøng 
minh r»ng tån t¹i mét tam gi¸c cã ba c¹nh cïng mµu 
 UBND TỈNH TIỀN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH 
Khoá ngày 23/3/2010 
Môn: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu. 
Câu 1: ( 5,0 điểm) 
1. Giả sử các số a, b thoả mãn: 
3 2
3 2
a 3ab 233
b 3a b 2010
ì - =ï
í
- =ïî
. Tính 2 2P a b= + 
2. Với giá trị nào của b thì hai phương trình: 22011x bx 1102 0+ + = và 
21102x bx 2011 0+ + = có nghiệm chung. 
Câu 2: ( 5,0 điểm) 
1. Giải phương trình: 3 2 4x 1 x x x 1 1 x 1- + + + + = + - 
2. Cho phương trình: 2y my p 0+ + = có hai nghiệm là 1y và 2y . Định m và p 
để 
1
1
1 y+
 và 
2
1
1 y+
 cũng là nghiệm của phương trình này. 
Câu 3: ( 2,0 điểm) 
Một thầy giáo còn trẻ dạy môn toán khi được hỏi bao nhiêu tuổi đã trả lời như 
sau: “ Tổng, tích, hiệu, thương của tuổi tôi và đứa con trai tôi cộng lại là 216”. Hỏi 
thầy giáo bao nhiêu tuổi? 
Câu 4: ( 3,0 điểm) 
Giả sử phương trình bậc hai 2ax bx c 0+ + = có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]. 
Xác định a, b, c để biểu thức ( )( )
( )
a b 2a c
P
a a b c
- -
=
- +
 đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn 
nhất. 
Câu 5: ( 5,0 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A, qua A ta vẽ đường thẳng d di động. Gọi B’, 
C’ là hình chiếu của B và C xuống d; H là chân đường cao của tam giác ABC. 
1. Chứng minh rằng đường tròn đường kính B’C’ qua một điểm cố định. 
2. Tìm tập hợp trung điểm M của B’C’. 
Hết 
* Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính. 
Đề chính thức 
Sở GD Tp Hồ Chí Minh
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ NĂM 2009
THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 PHÚT
Bài 1 (4 đ). Thu gọn các biểu thức sau
a) 2 3 3 13 48
6 2
A
  


b) 
1
2
a b a b b bB
a ab ab a ab a ab
          
với  , 0,a b a b 
Bài 2 (4 đ). Cho phương trình        23 3 1 1 4 0m x m x m m      
a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 3 (3 đ). Giải các phương trình sau:
a)      22 8 7 4 3 1 7x x x   
b) 2 217 17 9x x x x    
Bài 4 (3 đ). 
a) Với n là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số 
21 4n  và 14 3n 
b) Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh 
ab bc ca a b c
c a b
    
Bài 5 (3 đ).Cho hai đường tròn  O và  O cắt nhau tại 2 điểm ,A B . Qua A kẻ đường thẳng 
cắt  O tại M và cắt  O tại N . Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn 
đi qua một điểm cố định.
Bài 6 (3 đ). Cho đường tròn  O đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax . Từ M thuộc Ax kẻ tiếp 
tuyến thứ hai MC với đường tròn  O với C là tiếp điểm. Đường vuông góc với AB tại O cắt 
BC tại N . 
a) Có nhận xét gì về tứ giác OMBN .
b) Trực tâmH của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên tia 
Ax
Hết
NGUYỄN TĂNG VŨ
SỞ GD-ĐT TRÀ VINH 
*** 
Đề thi chính thức 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
 _________________ 
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức 
 P = 
x x 2 x 3 x 21 :
x 1 x 5 x 6 x 2 3 x
     
     
       
1- Rút gọn P. 
2- Tính P khi x  4  2 3 
Bài 2: (4 điểm) 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng: 
 D1: y = 3x + 6; D2: y = 
1 x 1
2
 ; D3: y  2x  4 
 Gọi A là giao điểm của D1 và D2, B là giao điểm của D1 và D3, C là giao điểm 
của D2 và D3. 
1- Vẽ D1, D2 và D3. Tìm tọa độ của A, B, C. 
2- Tính diện tích tam giác ABC. 
3- Tính số đo A , B , C của tam giác ABC (độ, phút, giây). 
Bài 3: (4 điểm) 
1- Giải phương trình: 
2 2
2 2
x 3x 3 x 6x 3
x 4x 3 x 5x 3
   

   
  
53
12
2- Giải hệ phương trình: 
y 4x 5
2 y 2x x y 1 7
 

    
Bài 4: (5 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, HB  20cm, HC  45cm. 
Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn 
(M và N là các tiếp điểm khác H). 
1- Tính diện tích tứ giác BMNC. 
2- Gọi I là giao điểm của đường thẳng CN và đường thẳng HA. Tính độ 
dài AI, IN. 
3- Gọi J là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng CB. Tính độ 
dài JM, JB. 
Bài 5: (3 điểm) 
 Cho đường tròn (O, R), đường kính AB cố định và đường kính CD quay 
quanh điểm O. Các đường thẳng AC và AD cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn theo 
thứ tự tại E và F. 
1- Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn. 
2- Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE. Chứng minh rằng 
điểm I di động trên đường thẳng cố định khi đường kính CD quay quanh điểm O. 
Thi ngày 7-4-2010 
TRỌNG TÚ - TRƯỜNG THCS HIỆP HÒA ---------- Hết ---------- 
së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o 
TUYÊN QUANG 
kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 9 thCS 
n¨m häc 2009 - 2010 
* m«n: to¸n 
 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
 (§Ò nµy cã 01 trang) 
 ---------- 
C©u 1 (4 ®iÓm). Rút gọn các biểu thức sau: 
1) 
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b cP
a b a c b c b a c a c b
= + +
- - - - - -
, trong đó , ,a b c là các số đôi một khác 
nhau. 
2) 2