Đề thi chọn học sinh giỏi năm 2015 môn: Toán 9

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM 2015
Môn: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
 Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố bất kỳ, thì với mọi số tự nhiên ta luôn có:
Câu 2: (4,0 điểm)
a, Giải phương trình: 
b, Giải hệ phương trình: 
Câu 3: (3,0 điểm)
 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: 
Câu 4: (4,0 điểm)
 Cho các số thực dương . Chứng minh rằng: 
Câu 5: (6,0 điểm)
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , trực tâm H. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn tại K khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tại F khác H. 
 a, Chứng minh rằng: KH, AF, BC đồng quy
 b, Gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Trên các đường thẳng AB, AC thứ tự lấy hai điểm M, N sao cho M, N đối xứng với nhau qua D. Chứng minh rằng đi qua E và tiếp xúc với MN tại D luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi.
Câu 6: (1,0 điểm)
 Cho 4030 số nguyên dương nhỏ hơn 2015. 1008. Trong đó, các đôi một khác nhau và các đôi một khác nhau . Chứng minh rằng trong 4030 số đã cho tồn tại bốn số thỏa mãn .
 HẾT./.