Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Trần Mai Ninh (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Năm Học : 2014 – 2015
-------------------------------------------
Câu 1 (4 điểm) : Thực hiện phép tính
a/ 
b/ 
Câu 2 (5 điểm) :
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 10
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 
Câu 3 (4 điểm) :
a/ Cho và Tính x – 2y + 3z
b/ Cho và 
Trong đó a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Câu 4 (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F. Chứng minh rằng
a/ BE = CF
b/ 
Câu 5 (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB
-------------------------------------------------------
LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
2.0
2.0
Câu 2
a/ Ta có : 
= chia hết cho 10 với n là số nguyên dương (ĐPCM)
1.5
b/ . 
Cách 1 : Ta xét 4 trường hợp xảy ra
TH 1 : x < 2014
A = 2014 – x + 2015 – x + 2016 – x = 6045 – 3x > 3 (Vì x < 2014)(1) 
TH 2 : 2014 ≤ x < 2015
A = x – 2014 + 2015 – x + 2016 – x = 2017 – x > 2 (Vì x < 2015)(2) 
TH 3 : 2015 ≤ x < 2016
A = x – 2014 + x – 2015 + 2016 – x = x - 2013 ≥ 2 (Vì x ≥ 2015)(3) 
TH 4 : x > 2016
A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vì x > 2016)(4) 
Từ 1,2,3,4 => A ≥ 2 . Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015
Cách 2 : Sử dụng BĐT , Dấu = xảy ra khi AB ≥ 0
Do => 
Dấu = xảy ra khi x = 2015 (1)
Ta có : 
Dấu = xảy ra khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0 => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2)
Từ 1,2 => A ≥ 2. Dấu = xảy ra khi x = 2015
Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015
2.0
c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 
Ta có 25 – y2 ≤ 25 => ≤ 25 => < 4
Do x nguyên nên là số chính phương, nên có 2 trường hợp.
TH 1 : thay vào => y = 5 ; y = -5
TH 2 : 
Thay vào => y2 = 17 (loại)
Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5
1.5
Câu 3
a/ Cho và Tính x – 2y + 3z
Ta có : => . Thay vào tỷ lệ thức
=> 
=> x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 2 + 14 + 3 = 19
2.0
b/ Cho và 
Trong đó a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Ta có : 
Do f(x) = g(x) 
=> f(0) = g(0) => 8 = c – 3 => c = 11 => 
=> f(1) = g(1) => a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8 => a + 4b = -3 (1)
=> f(-1) = g(-1)=> -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8 => - a + 4b = 3(2)
Từ 1,2 => b = 0, a = -3
Vậy : a = -3 , b = 0 ; c = 11
2.0
Câu 4
a/ BE = CF
Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME tại D.
BD//AC => 
Tam giác AEF có AN vừa là đường phân giác vừa là đường cao => Tam giác AEF cân tại A => (3)
Từ (1) và (3) => 
Xét DBDM và DCFM có : MB = MC (5), (6)
Từ 2,5,6 =>DBDM = DCFM (g.c.g) => BD = CF (7)
Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM)
b/ 
Tam giác AEF cân tại A => AE = AF
2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF) 
2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF)
(ĐPCM)
3.0
2.0
Câu 5
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB
Trên CA lấy điểm E sao cho , Gọi F là trung điểm CD
=> mà => Tam giác CBE cân tại C => CB = CE
Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD
Do => => Tam giác CEF đều => FE = CF = FD
=> mà ( D CEF đều) => 
Xét tam giác CDE ta có (1)
Ta có : => EB = ED, => EA = EB => ED = ED (2)
Từ 1, 2 => Tam giác EDA vuông cân tại E => 
Vậy 
2.0
Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa
	Giáo viên : Nguyễn Đức Tính
Nhận dạy HS ở TP Thanh hóa 
- Dạy toán 6,7,8,9
- Ôn thi lớp 10 THPT và THPT Lam Sơn
Địa chỉ : 07/335 – Đường Nguyễn Tĩnh – Đông Hương TP Thanh hóa, 0914853901
----------------------------------------------------------------------------------------