Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 7 năm học: 2014-2015

PHÒNG GD&ĐT TRIỆU SƠN
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
Lớp 7A
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7 
Năm học: 2014-2015
Môn thi: TOÁN 7 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm) 1) Rút gọn: .
Cho
 và . Tính .
Câu 2. (4,5 điểm)
Tìm biết .
Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn.
Cho a, b nguyên dương và ; chia hết cho 6. chứng minh rằng: chia hết cho 6
Câu 3. (4,5 điểm)
Cho là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng là hợp số.
Cho là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm biết và đều là các số chính phương.
Tìm x, y nguyên thỏa mãn điều kiện 
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn. 
Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho . Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và .
Phân giác của các góc cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của góc cắt BC tại N. Chứng minh rằng: 
Câu 5. (2,0 điểm) a) 
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: .
	2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số tự nhiên.
	3. a) Với x, y là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: 
	 b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
-----------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG 
Câu
Phương pháp-Kết quả
Điểm
Câu 1
( 4 điểm)
 1
(2điểm)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Vậy .
0.5
2
(2điểm)
+ Nếu hoặc thì 
0.5 đ
+ Nếu thì 
0.5đ
+ Nếu thì 
0.5
+ Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi hoặc .
0.5 đ
Câu 2
(4điểm)
1
(2.5điểm)
 Ta có 
1.0 đ
0.5 đ
0.5
Vậy là kết quả cần tìm.
0.5 đ
2
(2.5điểm)
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là . Vì tổng số viên bi của ba bạn là 74 nên 
0.5 đ
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 
0.5 đ
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 
0.5
+ Từ đó ta có 
0.5đ
+ Suy ra 
0.5đ
Câu 3
(4điểm)
1
(2điểm)
+ Vì là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 
0.5
+Với 
suy ra 
0.5
+Với 
suy ra 
0.5
Vậy là hợp số.
0.5
2
(2điểm)
+ Vì là số có hai chữ số nên 
0.5đ
+ Mặt khác là số chính phương chẵn nên có thể nhận các giá trị: 36; 64; 100; 144; 196.
0.5đ
+ Với không là số chính phương
 là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
 không là số chính phương
0.5 đ
+ Vậy số cần tìm là .
0.5đ
Câu 4
(6 điểm)
1
(3điểm)
+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
 BE=BA( gt)
0.5
+ Góc là góc ngoài của tam giác ABH nên 
0.5
+ Ta có . Do đó .
+ Do đó 
0.5 đ
+ Do nên .
0.5 đ
+ Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có .
Do đó . 
0.5đ
KL: CE vuông góc với BI.
0.5đ
2
(3điểm)
+ Do tính chất của đường phân giác, ta có .
0.5 đ
+ Gọi F là trung điểm của MN. Ta có .
0.5 đ
+ Tam giác FDM cân tại F nên .
0.5 đ
 Suy ra (1)
0.5 đ
Ta có (2)
Do tam giác ABC cân tại A nên (3)
0.5 đ
Từ (1), (2), (3) suy ra hay tam giác DBF cân tại D. Do đó 
0.5 đ
Câu 5
(1 điểm)
Cho và
 . Tính .
(1 điểm)
+ Ta có:
0.5 đ
=S.
Do đó =0
0.5 đ
Điểm toàn bài
(20điểm) 
Áp dụng cau a ba ba lần. Cộng vế với vế ta được ĐPCM
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng.