Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2014-2015 môn: Toán - Trường Thcs Đỗ Động

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2014-2015
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài1: (6 điểm).
 1. Cho biểu thức: 
 a) Rút gọn P.
 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 2. chứng minh biểu thức :
 là số nguyên
Bài 2: (4đ)
 1. Tìm cặp số ,sao cho y nhỏ nhất và thỏa mãn:
 2. Cho và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3: (4đ)
 1. Giải phương trình: 
 2. Cho a,b,c là ba số thỏa mãn: abc=1 chứng minh
 .
Bài 4(6đ)
 cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) .Kẻ hai tiếp tuyến AB,ACvà cát tuyến
 ADE tới đường tròn đó (B,C là 2 tiếp điểm và D nằm giữa A và E.Gọi H là giao 
 Điểm của AO và BC.
 1.Chứng minh 4 điểm A,B,O,Ccùng thuộc 1đường tròn
 2.Chứng minh AH.AO=AD.AE
 3.Tiếp tuyến tại D của (O)cắt AB,AC theo thứ tự ở M,N biết OA=6cm ;R=3,6cm
 4.Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC ở I,K. Chứng minh rằng
 Bài 5. (1đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC cố định,
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
 HẾT 
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS ĐỘNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2014-2015
Môn: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6đ)
1.Tìm đúng điều kiện: 
a) Rút gọn 
b) 
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si chỉ ra 
Chỉ ra dấu bằng xảy ra 
2.Tính 
0,5đ
1,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(4đ)
1. Biến đổi: 
 (1)
Vì nên 
 mà và y nhỏ nhất nên .
Thay vào (1) ta được . Vậy y nhỏ nhất bằng - 3 với cặp số 
2. Tách 
Áp dụng BĐT với thì Dấu bằng xảy ra vào bài toán trên ta có:
 (1)
Áp dụng BĐT Cô Si ta có (2)
Vì (3)
Từ (1);(2);(3) .Vậy 
0,5đ
0,5đ
1đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Bài 3
4đ
1.Giải phương trình: đk : x>2 ,y>1
Biến đổi pt về dạng 
Áp dụng BĐT cô si vói hai số dương 
 VT (2)
Để có (1) thì dấu bằng sảy ra trong (2)
 Khi 
Từ đó tìm được x=11 và y=5 (thỏa mãn )
2.
.
Dấu bằng sảy ra khi a=b=c=1
0,25đ
1,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài4
1. Chứng minh OBAB, OCAC (theo tính chất tiếp tuyến)
 B và C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
4 điểm A, B,O, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh OBAB 
 Chứng minh OABC tại H 
 AB2 = AH.AO (1)
 Chứng minh đồng dạng với 
 AB2 = AE.AD (2)
 Từ (1) và (2) AH.AO = AE.AD
3. Tính AB = 4,8cm
 Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra
 AB = AC, MD = MB, ND = NC 
 Chu vi AMN là: 
 AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN
 = AM +AN + MB + NC
 = AB + AC = 2AB = 9,6cm.
4. Chứng minh IK//BC 
 Và AB = AC AI = AK 
 AIK cân tại A và OI = OK = 
 Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra: 
 Tứ giác MNKI có 
Đồng thời có: 
 đồng dạng với 
 .
 Áp dụng BĐT Cosi: 
1,25đ
0,75đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
1đ
HS chứng minh được BĐT . Dấu bằng xảy ra khi 
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy khi tam giác ABC có: 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa