Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn: Toán - Trường Thcs Cao Viên

TRƯỜNG THCS CAO VIấN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015
Mụn: Toỏn
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm cú: 01 trang
Bài 1: (6 điểm)
a) Cho 
1. Tỡm điều kiện của x,y để biểu thức P xỏc định và rỳt gọn P
2. Tỡm x,y nguyờn thỏa món phương trỡnh: P = 2
b) Chứng minh rằng: Với mọi nẻ N thỡ n + n +1 khụng chia hết cho 9 
Bài 2: (4 điểm) 
Giải phương trỡnh : 
 Cho cỏc số thực dương a,b thỏa món: a + b = a + b = a + b .
 Tớnh giỏ trị biểu thức: P = a + b 
Bài 3: (3 điểm)
a/ Tỡm cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 
b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh : 
Bài 4: (6 điểm)
Cho đường trũn (O), đường kớnh AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường trũn tõm O khỏc A,B.Cỏc tiếp tuyến của đường trũn tõm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuụng gúc với AB(Pẻ AB), vẽ MQ vuụng gúc với AE ( Qẻ AE)
1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cựng thuộc một đường trũn và tứ giỏc APMQ là hỡnh chữ nhật.
2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng
3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh DEAO đồng dạng với D MPB suy ra K là trung điểm của MP
4. Đặt AP = x. Tớnh MP theo x và R.Tỡm vị trớ của điểm M trờn đường trũn (O) để hỡnh chữ nhật APMQ cú diện tớch lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn ,dương của phương trỡnh: xy+yz+zx=xyz+2
- Hết -
TRƯỜNG THCS CAO VIấN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2014 - 2015
Mụn: Toỏn
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 đ )
 a)
1. Tỡm đỳng điều kiện : x ≥ 0, y³ 0 ,y ≠ 1, x+y≠0 
 = 
 ==
2. P=2 Û =2 Û 
 Û
Ta cú ³ 1ị Ê 1 ị .Kết hợp với điều kiện x ≥ 0. Vậy 0ÊxÊ4
ị x ẻ {0,1,2,3,4}. Thay vào phương trỡnh P=2 ta cú:
(x,y)ẻ {(4,0); (2,2)}
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
 0,5đ.
 0,5đ.
 0,5đ 
 0,5đ
b) giả sử tồn tại số tự nhiờn n để 9
Đặt . Vì (1)
Ta có: 
Vì 
 không chia hết cho 9 không chia hết cho 9 (2)
Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn. Vậy điều giả sử là sai.
Vậy với thì không chia hết cho 9.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
Bài 2
(4đ)
 1.(2đ) Tỡm đỳng điều kiện 0Ê xÊ 
- Đặt ị ị 
 ị 
-Giải ra được đến 
* Với ut=2ị t=1 hoặc t=2
- Với t=1 ị x=1
-Với t=2 ị x=4
* Với ut=6 ị Pt vụ nghiệm
-Kết luận nghiệm
2. (2đ)
Ta cú : 
Tớnh ra P=2
0,25đ
0,5đ
0,5đ.
 0,5đ
 0,25đ
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ
0,5đ.
Bài 3
(3đ)
1. Viết được 
Û y là số nguyờn lẻ
Mà ³ 0ị ³ 0Û =1
Thay =1 vào tỡm được x=2, x=-4
Thử lại : và trả lời .Cú cỏc nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(-4,1) ;(-4,-1)
2. Với x, y, z > 0 . Ta cú:
+) (1).
+) (2)
+) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (3)
Xảy ra đẳng thức ở (1), (2), (3)x = y = z.Ta cú: 
Áp dụng cỏc bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
Dấu “ =” xảy ra 
0,25đ.
0,25đ
0,25đ.
0,25đ
0,25đ
0,25đ.
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(6đ)
I
K
B
O
M
Q
E
A
P
x
I
Vỡ AE là tiếp tuyến của đường trũn(0) tại A ị AE^ AO
ị DOEA vuụng ở A ịO,E,A ẻ đường trũn đường kớnh OE(1)
 Vỡ ME là tiếp tuyến của đường trũn(0) tại M ị ME^MO
ịDMOE vuụng ở MịM,O,E ẻ đường trũn đường kớnh OE(2)
(1),(2)ị A,M,O,E cựng thuộc mụt đường trũn
*Tứ giỏc APMQ cú 3 gúc vuụng :
=> Tứ giỏc APMQ là hỡnh chữ nhật
b) Ta cú : I là giao điểm của 2 đường chộo AM và PQ của hỡnh chữ nhật APMQ nờn I là trung điểm của AM.
Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và 
tại A nờn theo định lý ta cú : O, I, E thẳng
hàng.
c) hai tam giỏc AEO và PMB đồng
dạng vỡ chỳng là 2 tam giỏc vuụng cú 1 gúc
bằng nhau là , vỡ OE // BM
=> (3)
Mặt khỏc, vỡ KP//AE, nờn ta cú tỉ số (4)
Từ (3) và (4) ta cú : AO.MP = AE.BP = KP.AB,
mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP.
d) Ta dễ dàng chứng minh được : 
	abcd (*)
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
	MP = 
 Ta cú: S = SAPMQ = 
	S đạt max Û đạt max Û x.x.x(2R – x) đạt max 
Û đạt max 
Áp dụng (*) với a = b = c = 
Ta cú : 
	Do đú S đạt max Û Û . 
Vậy khi MP= thỡ hỡnh chũ nhật APMQ cú diện tớch lớn nhất
0,25đ
.
0,75đ.
0,75đ.
1,5đ.
1,5đ.
1,5đ
Bài 5
(1đ)
Tỡmnghiệm nguyờn ,dương của phương trỡnh: xy+yz+zx=xyz+2(1)
Do vai trũ của x,y,z bỡnh đẳng, nờn khụng mất tớnh chất tụng quỏt.
Giả sử x³ y³ z³ 1,từ đú suy ra xy+yz+zxÊ xy+xy+xy=3xy(2)
(1),(2)ị 3xyz³ xyz+2
Hay 3xy³ xyz ị z<3
Do z là một số nguyờn dương ịz=1,z=2
+khi z=1ịx+y=2.do x,y nguyờn dương ịx=1,y=1
+khi z=2 ị(y-2)(x-2)=2
 Do x³ y³ z³ 1 ị 
Trả lời: (x,y,z)=(1,1,1),(4,3,2) 
0,5đ
0,5đ