Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014- 2015 môn Toán - Trường THCS Bình Minh

Phòng GD huyện Thanh Oai
Trường THCS Bỡnh Minh
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 
 năm học 2014- 2015
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Bài 1: (6đ)
a. Cho biểu thức:
1.Rút gon P
2.Tìm các giá trị của x để P= 
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P
b. Chứng minh rằng 
A=
Bài 2:(4đ)
Giải phương trình:
b)Chứng minh rằng : n2 + 7n + 2014 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n.
Bài 3:(3đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 1 + x + x2 + x3 = y3
b)Cho a,b,c là các số dương và a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 
Bài 4:(6đ)
 Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O) cắt AB tại E. Chứng minh: 
Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đường tròn.
AC2 = AB.AE
SO // CB
OE vuông góc với SC
Bài 5: (1đ) Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b-1
Đáp án + biểu điểm 
Bài 1: a) (4đ)
 1.(2đ)
Tìm được ĐK: 
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
 2. (1đ)
P=(TMĐK)
1đ
3.Với x, minP=0 khi x=0
Với x>0,P= vì nên . Do đó P.
Dấu ”=” xảy ra khi x=1. Vậy maxP=khi x=1
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b. A=
A>
2A > 
2A > 
2A > (đpcm)
1đ
1đ
Bài 2:(4đ)
a) (2đ)
ĐK: x>0
Nhận thấy với mọi x
Biến đổi:
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
b)(2đ) Giả sử n2 +7n +20149 
vì 80073
 mà 8007 không chia hết cho 9. Nên (2n+7)2+8007 không chia hêt cho 9không chia hết cho 9 mâu thuẫn với giả sử nên điều giả sử là sai. Vậy n2+7n +2014 không chia hết cho 9 (đpcm)
0,5đ
0,5đ
1đ
Bài 3: (3điểm)
a. (1,5d) Giải: Ta cú x2+x+1=(x+)2 +>0
5x2+11x+7=5(x+ >0
Nờn(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)<1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3)+(5x2+11x+7)
x3<1+x +x2+x3<(x+2)3 hay x3<y3<(x+2)3 .Do đú y3=(x+1)3
=>(x+1)3=1+x+x2+x3x(x+1)=0 
*x=0=>y=1
*x=-1=>y=0
Vậy nghiệm nguyờn của PT là : (0;1), (-1;0)
b) (1,5đ)
ta có a>0 nên ( bđt côsi cho 3 số dương)
tương tự , 
Do đó A. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=
Vậy min A=
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4:(6đ)
a.
Vẽ đúng hình chứng minh được 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đường tròn đường kính SO
E
S
b.Cm được AC2=AB.AE y
O
C
c. Cm được SO//CB 
 d. CmAECđồng dạng SOA OCE đồng dạng SAC từ đó suy ra OE vuông góc với SC
1,5đ
1,5đ
1,5đ
1,5đ
Bài 5: (1đ) 
Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k
Nừu k=1
Tìm được x=4 ; y=3
Nừu k vô lí (loại)
Vậy x=4. y=3
1,0đ
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm.