Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 - 2011 môn Toán học

 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2010-2011 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) 
Bài 1. (2,0 điểm) 
Cho biểu thức: 
2a 1 a a 1 a a a a 1M
a a a a a a
    
  
 
 với a > 0, a  1. 
a) Chứng minh rằng M 4. 
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức 6N
M
 nhận giá trị nguyên? 
Bài 2. (2,0 điểm) 
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3  , y 6 x  và y mx có đồ thị lần lượt 
là các đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng 
(m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành 
độ âm còn điểm B có hoành độ dương? 
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt 
trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định 
I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 2 2
1 1 .Q
OM ON
  
Bài 3. (2,0 điểm) 
a) Giải hệ phương trình: 
17 2 2011
2 3 .
 

 
x y xy
x y xy
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: 1x y z z x (y 3).
2
      
Bài 4. (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên 
(C) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. 
Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt 
đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. 
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng. 
b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi. 
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. 
Bài 5. (1,0 điểm) 
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên. 
---HẾT--- 
Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ........................ 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 
KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2010-2011 
Môn thi: TOÁN 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 
 Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp 9. Các Giám khảo thảo luận thống nhất 
thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thể phân chia nhỏ thang 
điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được thay đổi. Nội dung 
thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc khảo sau này được 
thống nhất và chính xác. 
Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì bài làm 
đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó. 
Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo tại 
Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT. 
BÀI-Ý ĐỀ -ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Bài 1 
Cho biểu thức: 
2a 1 a a 1 a a a a 1M
a a a a a a
    
  
 
 với a > 0, a  1. 
a) Chứng minh rằng M 4. 
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức 6N
M
 nhận giá trị nguyên. 
2,00 
Do a > 0, a  1 nên: a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
a a a ( a 1) a
     
 
 
 và 
0,25 
2a a a a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a 1
a a a a (1 a) a (1 a) a
            
  
  
0,25 
 
a 1M 2
a

  
0,25 
Do a 0; a 1  nên: 2( a 1) 0 a 1 2 a     0,25 
 1.a 
(1,25đ) 
 2 aM 2 4
a
   
0,25 
Ta có 6 30 N
M 2
   do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1 
0,25 
Mà N = 1  6 a 1
a 1 2 a

 
  a 4 a 1 0    2( a 2) 3  
  a 2 3 hay a 2 3    (phù hợp) 0,25 
1.b 
(0,75đ) 
Vậy, N nguyên  2a (2 3)  0,25 
Bài 2 
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3  , y 6 x  và y mx có đồ thị lần lượt là các 
đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (m) cắt 
hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn 
điểm B có hoành độ dương? 2,00 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục 
hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . Tìm hệ 
thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 1 .Q
OM ON
  
Điều kiện để (m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0 0,25 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (m) là: 
0,5x 3 mx   (m 0,5)x 3  
Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5   0,25 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (m) là: 
6 x mx   (m 1)x 6  
Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m 1    
2.a 
(0,75đ) 
Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m 0    0,25 
Đặt m = xM và n = yN  mn  0 và m  1 (*) 
Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0,25 
 
0 am b
2 a b
n b
 

 
 
  hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m n mn  
0,25 
Chia hai vế cho mn  0 ta được: 1 2 1
m n
  (**) 
 
2 2
2 2 2 2
1 2 1 4 4 1 1 2 11 5
m n m n mn m n m n
                  
     
0,25 
 2 2
1 1 1Q ;
m n 5
   dấu “=” xảy ra khi 2 1 ;
m n
 kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 (thỏa (*)) 
0,25 
2.b 
(1,25đ) 
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1
5
0,25 
Bài 3 
a) Giải hệ phương trình: 
17 2 2011
2 3 .
  

 
x y xy
x y xy
 (1) 
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: 1x y z z x (y 3)
2
      (2) 
2,0 đ 
Nếu 0xy  thì 
17 2 1 1007 92011
9 490(1)
1 2 91 4903
10079
x
y x y
y
y x x
             
       
 (phù hợp) 
0,50 
Nếu 0xy thì 
17 2 1 10042011
9(1) 0
1 2 1 10313
18
y x y
xy
y x x
          
    
 
 (loại) 
0,25 
Nếu 0xy  thì (1) 0x y   (nhận). 0,25 
3.a 
(1,25đ) 
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0;0) và 9 9;
490 1007
 
 
 
0,25 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
Điều kiện x ≥ 0; y  z ≥ 0; z  x ≥ 0  y ≥ z ≥ x ≥ 0 0,25 
(2)  2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3          
  2 2 2( x 1) ( y z 1) ( z x 1) 0        0,25 
3.b 
(0,75đ) 
  
x 1
y z 1
z x 1
 
  

 
  
x 1
y 3
z 2



 
 (thỏa điều kiện) 
0,25 
Bài 4 
Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB 
cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M 
không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm 
đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với 
AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng 
BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các 
đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. 
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng 
hàng. 
b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi. 
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam 
giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. 
C( )
F
E
N
C OA B
M
 3,0 đ 
MN BF và BC NF 0,25 
 A là trực tâm của tam giác BNF 0,25 
 FA NB 
Lại có AE NB 0,25 
4.a 
(1,00đ) 
Nên A, E, F thẳng hàng 0,25 
 CAN MAB , nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng. 0,25 
Suy ra: AN AC
AB AM
 
0,25 
4.b 
(0,75đ) 
Hay 2AM AN AB AC 2R    không đổi (với R là bán kính đường tròn (C )) 0,25 
Ta có 2BA BC
3
 nên A là trong tâm tam giác BNF  C là trung điểm NF (3) 
0,25 
Mặt khác:  CAN CFM , nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng 
  2CN AC CN CF BC AC 3R
BC CF
      
 0,25 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R 3     không đổi 0,25 
Nên: NF ngắn nhất  CN =CF  C là trung điểm NF (4) 0,25 
4.c 
(1,25đ) 
(3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF  NF ngắn nhất 
0,25 
Bài 5 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên. 0,75 
 (1,00đ) 
Đặt: S = 123456789101112 
 
100
S
 3467891112 (1) là một số nguyên 
0,50 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
 hai chữ số tận cùng của S là 00 
Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1), nếu chỉ để ý đến 
chữ số tận cùng, ta thấy 
100
S có chữ số tận cùng là 6 (vì 34=12; 26=12; 27=14; 48=32; 
29=18; 811=88; 812=96) 0,25 
Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600 0,25 
--- Hết --- 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
Điều kiện x ≥ 0; y  z ≥ 0; z  x ≥ 0  y ≥ z ≥ x ≥ 0 0,25 
Theo BĐT Cauchy: x 1 y z 1 z x 1x ; y z ; z x
2 2 2
    
     
  1VP x y z z x (y 3) VT
2
        
0,25 3.b 
(0,75đ) 
 Do đó 
x 1
y z 1
z x 1
 

 

 
  
x 1
y 3
z 2



 
 thỏa điều kiện 
0,25 
 PHÒNG GD-ĐT CẨM THỦY KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (ĐỀ SỐ 3) 
 năm học : 2011 - 2012 
 Môn : TOÁN 
 (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) 
Bài 1 ( 3,0 điểm) 
 Cho các số dương: a; b và x =
1
2
2 b
ab . Xét biểu thức P = 
bxaxa
xaxa
3
1


 
1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P. 
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P. 
Bài 2 (3,0 điểm) 
 Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau: 








xzz
zyy
yxx
3623
2423
223
3
3
3
Bài 3 ( 3,0 điểm) 
 Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = 2
53 ; b =
2
53 . 
1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn) 
2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên. 
3. Chứng minh Sn – 2 = 
2
2
15
2
15













 





 
nn
. Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là 
số chính phương. 
Bài 4 (5,0 điểm) 
 Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ 
đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung 
ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc 
(O2). 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
1. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng 
EF vuông góc với đường thẳng AB. 
2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng 
MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn 
thẳng CD. 
Bài 5: (4đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N 
. 
a) Chứng minh : 
AN
AM
AF
AC
AE
AB 2
 
b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P 
đường thẳng KM cắt AC tại Q. 
 Chứng minh PQ//BC. 
Bài 6: (2 điểm) 
 Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : 
 accbbacba 222333 3222  
------------- HẾT------------- 
HƯỚNG DẪN CHẤM: ĐỀ SỐ 3 
Câu 1. (3,0 điểm) 
Tóm tắt lời giải Điểm 
1. (2.0 điểm) 
Ta có: a; b; x > 0  a + x > 0 (1) 
Xét a – x = 0
1
)1(
2
2



b
ba
 (2) 
Ta có a + x > a – x ≥ 0  0 xaxa (3) 
Từ (1); (2); (3)  P xác định 
Rút gọn: 
Ta có: a + x =
1
)1(
1
2
2
2
2 




b
ba
b
ab
a 
1
)1( 2 

b
a
bxa 
 a - x =
1
)1(
1
2
2
2
2 




b
ba
b
ab
a 
1
1 2 

b
a
bxa 
 P = 
bbb
bb
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
3
1
11
11
3
1
11
1
)1(
1
1
1
)1(
22
22











 Nếu 0 < b < 1  P =
bbb 3
4
3
1
2
2
 
 Nếu b 1  P = 
b
b
b
b
3
13
3
1 2 
 
2. (1.0 điểm) 
Xét 2 trường hợp: 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
 Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = 
b3
4
 P 4
3
 
 Nếu b 1 , a dương tuỳ ý thì P = 
3
2
3
1
33
1 b
b
b
b
b 




  
Ta có: 
3
2
3
1
3

b
b , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 
Mặt khác: 
3
2
3
2

b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 
Vậy P 
3
4
3
2
3
2
 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
3
4
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 2 (3,0 điểm) 
Tóm tắt lời giải Điểm 
Biến đổi tương đương hệ ta có 








)2(3)1)(2(
)2(2)1)(2(
2)1)(2(
2
2
2
xzz
zyy
yxx
Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được: 
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) 
 (x - 2)(y - 2) (z - 2)  6)1()1()1( 222  zyx = 0 
 (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 
 x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2 
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho 
1,00 
0,50 
0,25 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25 
Câu 3 (3,0 điểm) 
Tóm tắt lời giải Điểm 
1. (1,0 điểm) 
Với n ≥ 1 thì Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1) 
Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2) 
Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh 
2. (1.0 điểm) 
Ta có: S1 = 3; S2 = 7 
Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn 
Do S1, S2  Z nên S3 Z; do S2, S3  Z nên S4 Z 
Tiếp tục quá trình trên ta được S5; S6;...; S2008  Z 
3. (1.0 điểm) 
Ta có Sn – 2 = 22
1
2
5
2
1
2
5
22































nn
0,25 
0,50 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
 = 
nnn













 





 














 














 
2
15
2
152
2
15
2
15
22
 =
2
2
15
2
15













 





 
nn
 đpcm 
Đặt a1 =
2
15 
; b1 = 
2
15 
  a1 + b1 = 5 ; a1b1 = 1 
Xét Un= 1 1
n na b 
Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n)  Un+2 = 5 Un+1 – Un 
Ta có U1 = 1  Z; U2 = 5  Z; U3 = 4 Z; U4 = 3 5  Z;... 
Tiếp tục quá trình trên ta được Un nguyên  n lẻ 
Vậy Sn – 2 là số chính phương  n = 2k+1 với k  Z và 0  k 1003 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 4 (5,0 điểm) 
Tóm tắt lời giải Điểm 
1. (2,5 điểm) O1M; O2N MN  O1M/ / O2N 
 Do O1; E; O2 thẳng hàng nên  MO1E =  NO2B 
Các tam giác O1ME; O2NB lần lượt cân tại O1 và O2 nên ta có:  MEO1=NBO2 (1) 
Mặt khác ta có:  AME = 900  MAE + MEO1= 900 (2) 
 MAE + NBO2 = 900  AFB = 900 
 Tứ giác FMEN có 3 góc vuông  Tứ giác FMEN là hình chữ nhật 
 NME =  FEM (3) 
Do MNMO1   MNE + EMO1 = 900 (4) 
Do tam giác O1ME cân tại O1   MEO1 =  EMO1 (5) 
Từ (3); (4); (5) ta có:  FEM +  MEO1= 900 hay  FEO1 = 900 (đpcm) 
2. (2,5 điểm) 
0,25 
0.25 
0,25 
0,25 
0,50 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
F 
O1 O2 O E A B 
C 
M 
I 
N 
D 
S 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
Ta có EB = 12 cm O1M = 3 cm < O2N = 6 cm 
 MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B. 
Gọi I là trung điểm CD  CD OI  OI// O1M //O2N 
2
1
2
1
SO
SO
NO
MO
 
SO2 = 2SO1  SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2 
Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm SO1= O1O2 = 9 cm SO =SO1 + O1O = 15cm 
Mặt khác:
11 SO
SO
MO
OI
 OI = 5 cm 
Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2  CI2 + 25 = CO2 
Ta có: CO = 9 cm  CI2 + 25 = 81  CI = 56 
  CD = 4 14 cm 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
Câu 5 (2,0 điểm) 
Điểm 
a) 
 Kẻ EFCSBI //, ),( AMSI  
Ta có: 
AN
AS
AF
AC
AN
AI
AE
AB
 , 
)(
AN
AS
AN
AI
AF
AC
AE
AB
Ta có: CSMBIM  (cgc) 
 MSIM  
 Vậy: AMMSIMAIAIASAI 2 
 Thay vào (*) ta được (đpcm) 
1,0 
0,5 
Khi NBCEFBCd  //// là trung điểm của EF 
 +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L 
Ta có: LFEPcgcNFLNFP  )( 
 Do đó : 
0,5 
0,5 
E
E
I
S
M
N
CB
A
K
P Q
F
L
E
N
A
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
 )1(KB
KF
PB
LF
PB
EP
 
+Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt 
 KM tại H 
 Ta có )(cgcCMQBMH  
QCBH 
Do đó: )2(
KB
KF
BH
FQ
QC
FQ
 
Từ (1) (2) //FP FQva PQ BC
PB QC
   (đpcm) 
0,5 
0,5 
0,5 
Bài 6: 2 điểm) 
 Do a <1  2a <1 và b <1 
 Nên    2 2 21 . 1 0 1 0a b a b a b        
 Hay baba  221 (1) 
 Mặt khác 0 <a,b <1  32 aa  ; 3bb  
  332 baab  
 Vậy baba 233 1 
 Tương tự ta có 
acca
cbcb
233
233
1
1

 
 accbbacba 222333 3222  
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
UBND HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
NĂM HỌC 2013-2014 
MÔN: TOÁN LỚP 9 
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề 
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: 
x y x y x y 2xyP : 1
1 xy1 xy 1 xy
     
           
. 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tính giá trị của P với 
2x
2 3


. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số: 
1 3y x
2 2
   và y x . 
a) Vẽ đồ thị (D) và (L). 
b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. 
Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 4 3 26x 5x 38x 5x 6 0     . 
Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở 
M và cắt đường thẳng DC ở I. 
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1
AM AI a
  . 
Bài 5: (6 điểm) 
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) 
tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F  ( O/ 
). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. 
b) MN AD. 
c) ME.MA = MF.MD. 
---------- Hết ---------- 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
UBND HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO 
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9 
Bài Đáp án Điểm 
1 ĐKXĐ: x 0; y 0;xy 1   . 0,5 đ 
a) Mẫu thức chung là 1 – xy 
( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xyP :
1 xy 1 xy
        

 
x x y y y x x x y y y x 1 xy.
1 xy 1 x y xy
       

   
2( x y x) 2 x(1 y) 2 x
(1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x
 
  
    
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
b) 
22 2(2 3)x 3 2 3 1 ( 3 1)
4 32 3

      

2x ( 3 1) 3 1 3 1      
2
2( 3 1) 2 3 2P
1 ( 3 1) 1 3 2 3 1
2( 3 1) 6 3 2P
135 2 3
 
  
    
 
 

0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
2 
a) 
Đồ thị 
1 3y x
2 2
   có : 
3x 0 y
2
y 0 x 3
   

   
Đồ thị 
x khi x 0
y x
x khi x 0

  
 
Đồ thị như hình vẽ: 
0,5 đ 
0,5 đ 
1 đ 
 Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT 
Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất 
(L)
(D)
3/2
3
N 3
- 3
1
1
M
x
y
O
b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3) 
Ta có: OM = 2 21 1 2   OM2 = 2 
 ON = 2 23 ( 3) 3 2    ON2 = 18 
 MN = 2 2(1 3) (1 3) 20  