Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thiệu Hóa năm học 2015 - 2016 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015
Câu 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x biết A = 8;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Câu 2: (3,0 điểm).
a) Tìm các giá trị của a, b sao cho đồ thị hàm số y = (a – 3)x + b song song với đường thẳng y = –2x + 1 đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = 5x + 5 và y = x – 3.
b) Tìm thỏa mãn 
Câu 3: (4,0 điểm). 
	a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: .
	b) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + 1)(x+ 1) = (2y + 1).
Câu 4: (5,0 điểm). Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E. 
a) Chứng minh đồng dạng với ;
b) Chứng minh CM vuông góc với OE;
 	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài dây AB.
Câu 5: (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC.
Câu 6. (2,0 điểm). Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tính A = x2015 + y2015 + z2015
Họ tên học sinh: .................................................; Số báo danh: ....................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
4,0 đ
a. 
(2,0đ)
ĐKXĐ 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,0đ)
Với 
A = 8 
 (thỏa mãn đk)
Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8.
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
c.
(1,0đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4.
0,5 đ
0,5 đ
Câu 2
3,0 đ
a.
(1,5đ)
Vì đường thẳng (d): y = (a - 3)x + b song song với đường thẳng y = -2x + 1 nên: 
 a - 3 = -2 và b 1 => a = 1; b 1
Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x - 3 là M(-2;-5)
Vì (d): y = -2x + b đi qua M(-2;-5) => b = -9 (thỏa mãn)
Vậy a = 1; b = -9.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,5đ)
+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm.
+ Trường hợp xyz 0:
 = 
+ Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là 
 (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ()
0,5 đ
0,75 đ
0,25 đ
Câu 3
4,0 đ
a.
(2,0đ)
Ta có: 
Tương tự:
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(2,0đ)
+ Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x+ 1) nguyên tố cùng nhau: 
 Gọi d = ƯCLN (x + 1, x+ 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ)
 2 mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x+ 1) là số chính phương 
 Thì (x + 1) và (x+ 1) đều phải là số chính phương
 Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc 
+ Với x = 0 thì (2y + 1)= 1 y = 0 hoặc y = - 1(Thỏa mãn pt)
 Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) 
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 4
5,0 đ
a.
(2,0đ)
Gọi Q là giao điểm của AB với OM.
Ta có AM//CE (cùng vuông góc với AC) (so le trong) 
Mà ; và (Dễ chứng minh).
Suy ra = (cùng phụ với hai góc bằng nhau)
tan BCE = tan OMB (1)
Lại có (cùng phụ với góc ABO)
Nên ( cùng = 900  + ) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (c.g.c).
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b.
(1,5đ)
Từ 
Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC. 
 (g.g) 
Mà => . Vậy CM OE
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c.
(1,5đ)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. P là giao điểm của AB với OH 
Ta có (.g.g) =>
QO. OM = OP. OH = OA2 = R2 
Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi 
Lại có : AB = 2AQ = 2 mà OQ OP
 (không đổi)
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của AB = 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 5
2,0 đ
(2,0đ)
* Vẽ tam giác đều CMN
Ta có: BC = AC; 
 CN = CM;
 BCN = ACM (Vì đều có tổng với MCB bằng 600)
Do đóBCN = ACM (c.g.c)
Suy ra BN = BM
* Theo giả thiết: 
 vuông tại M (Định lý Pitago).
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 6
2,0 đ
Từ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1
Mà: x3 + y3 + z3 = 1
 (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0
 * Nếu 
 * Nếu 
 * Nếu 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Lưu ý: 	- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 đ;
- HS làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.