Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán - Khối 10

 SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2016 – 2017
 *** Môn thi: Toán - Khối 10
 ( Thời gian làm bài: 120 phút) 
Câu 1 (5.0 điểm). Cho phương trình: 
 1. Tìm m để phương trình có nghiệm
 2. Khi phương trình có hai nghiệm , tìm a để biểu thức không phụ thuộc 
vào m. 
Câu 2 (8.0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
 1. 
 2. 
 3. 
Câu 3 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng : 
Câu 4 (2.0 điểm). Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng: 
Câu 5 (2.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho tứ giác MNEF là hình vuông. 
Câu 6 (1.0 điểm). Biết a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
 . 
	Hết 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm
 Họ và tên thí sinh..........................................................................;Số báo danh.......
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
Năm học 2016- 2017
Câu
Đáp án
Điểm
1
(5đ)
Cho phương trình: 
1. Tìm m để phương trình có nghiệm
3.0
TH1. Nếu , pt trở thành: là nghiệm
 thỏa mãn. 
1.0
TH2. Nếu 
 Ta có 
1.0
Pt đã cho có nghiệm 
kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là 
1.0
2. Khi phương trình có hai nghiệm , tìm a để biểu thức không phụ thuộc vào m.
2.0
Với phương trình có hai nghiệm , khi đó theo định lí 
vi-et ta có: , ta có:
= 
1.0 
F không phụ thuộc vào m 
1.0
2
(8đ)
1. 
3.0
Đk : 
pt
0.5
đặt ( đk ). Ta có phương trình: 
0.5
 kết hợp với điều kiện ta được t = 3
1.0
với t =3 (TM).
1.0
2. 
3.0
Đk x > 2
bpt 
1.0
kết hợp với đk ta có bpt 
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: 
1.0
1.0
3. 
 2.0
Đk: 
hpt 
đặt (ĐK a, b > 0) , ta có hệ: 
0.5
0.5
 ( vì a, b > 0) 
0.5
với (thỏa mãn)
0.5
3
(2đ)
 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng : 
 2.0
Ta có : 
0.5
0.5
tương tự ta cũng có: , do đó 
0.5
0.5
4
(2đ)
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng: 
2.0
Từ gt ta có: 
1.0
cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 
0.5
mà và ,
 nên 
0.5
5
(2đ)
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông. 
2.0
*) Viết pt đường thẳng AB:
ta có AB có vtcp là AB có vtpt là : 
0.5
 pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0 pt AB: 2x + 3y -12 = 0
0.5
*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông.
Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có:
MF //AH // NE
x
A
B
F
M
N
E
O
y
0.5
 và 
khi đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0) 
0.5
6
(1đ)
 Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng: 
1.0
do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có:
 ; tương tự ta cũng có:
0.5
cộng theo vế các bđt trên ta được:
VT + 
mà nên đpcm
0.5