Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lần 2 năm học 2012 - 2013 môn: Toán lớp 10

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2 
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN – Lớp 10 
(ngày thi: 04/01/2013)
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
De1
Câu 1 ( 2 điểm ). Cho hệ phương trình : 
Giải hệ khi m=4
Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt
Câu 2 ( 2 điểm ). 
Giải phương trình : 
Tìm m để phương trình 
có hai nghiệm sao cho 
Câu 3. ( 3 điểm ). Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , điểm D là trung điểm của AB , E là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng : 
Câu 4 ( 2 điểm ). Giải bất phương trình: .
Câu 5 . ( 1 điểm ). Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3 . Chứng minh rằng :
---------------------------------HẾT---------------------------------
De2
Sở GD&ĐT BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 10 – Năm 2012-2013
Trường THPT Nguyễn Du	 Môn : Toán 
 Tổ Toán – Tin Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài I : ( 4.0 điểm)
	 Cho hàm số , m0
	a) Xác định m để đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt x1,x2 thỏa mãn :
	b) Xác định k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt 
	c) Xác định tập hợp tất cả các đỉnh I của ?
Bài II : ( 3.0 điểm )
Giải phương trình : 
Giải hệ phương trình : 
Bài III: ( 3.0 điểm ) 
a) Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b , đường phân giác trong của goc cắt BC tại D.
CMR : 
Cho tam giác ABC .Trên cạnh BC lấy các điểm A1,A2 đối xứng nhau qua trung điểm 
của BC . Trên cạnh AC lấy các điểm B1,B2 đối xứng nhau qua trung điểm của AC . Trên cạnh AB lấy các điểm C1,C2 đối xứng nhau qua trung điểm của AB . Gọi G, G1 ,G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,A1B1C1, A2B2C2
 CMR : G,G1 ,G2 thẳng hàng 
De3
 .Hết 
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1(2,0 điểm). Giải phương trình: 
Câu 2(2,0 điểm). Giải hệ phương trình : 
Câu 3(1,0 điểm). Cho . Tính giá trị biểu thức sau :
Câu 4(2,0 điểm). 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 
 và điểm . Gọi và là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ điểm M tới đường tròn (C). Viết phương trình dường thẳng .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm
của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là và . Viết phương trình đường thẳng AC.
Câu 5(2,0 điểm). 
 a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng 
 b) Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
-------------------------Hết-----------------------------
De4
TRƯỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
 -----------˜µ™------------- Môn: TOÁN – Năm học: 2010 – 2011 
 Thời gian làm bài: 60 Phút 
 ------------------š&›--------------------
 Bài 1: (1.5điểm)
Tìm tập xác định của hàm số: 
Bài 2: (2điểm)
Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
Giải hệ phương trình
Bài 4: (1.5điểm)
Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác, chứng minh bất đẳng thức:
Bài 5: (1điểm)
	Cho tam giác ABC, hãy xác định điểm M sao cho 
Bài 6: (2điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , chứng minh rằng:
cotA	+ cotB + cotC = 
-------------HẾT--------------
De5
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4 điểm)
1. Cho hệ phương trình (trong đó là tham số; và là ẩn)
a) Tìm để hệ phương trình trên có nghiệm.
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức .
2. Tìm tất cả các giá trị để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 
Câu II (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình 
Câu III (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu là các số thực dương thì 
Câu IV (3,5 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm và . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho góc AMB bằng .
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng .
3. Cho tam giác ABC, có . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng
	De6	-------------Hết-------------
Së GD&§T H¶i D­¬ng
Tr­êng THPT nam S¸ch
§Ò thi häc sinh giái
m«n to¸n líp 10. n¨m häc 2012-2013
(Thêi gian lµm bµi 150 phót)
(2 điểm) Cho phương trình: 
Giải phương trình với .
Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là độ dài 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
(2,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình:
	a) 
	b) 
(1,5 điểm) Cho các tập hợp 
Khi . Hãy tìm: .
Tìm sao cho .
(2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông vẽ hai tia, góc lập bởi hai tia đó bằng . Một tia cắt đường chéo BD và cạnh CD tại hai điểm tương ứng Q và P, tia còn lại cắt đường chéo BD và cạnh BC lần lượt tại các điểm N và M. 
Chứng minh rằng các điểm C, M, N, Q, P nằm trên một đường tròn.
Tính chu vi của tam giác CMP.
(1 điểm) Cho tam giác ABC, với điểm M là trung điểm AB, N thuộc đường thẳng AC sao cho , P là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
(1 điểm) Cho . Chứng minh rằng: . Dấu bằng xảy ra khi nào?
De7
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
Giải bất phương trình: 
Câu 2 (2 điểm)
Giải phương trình: 
 Giải phương trình: 
Câu 3 (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): và điểm . Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi .
Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là ).
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:
De8 Hết.
SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT HIỆP HÒA 3
***
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MÔN TOÁN KHỐI 10 
Năm học: 2011 – 2012
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu I (6 điểm)
Cho hệ phương trình (trong đó m là tham số; x và y là ẩn)
1. Giải hệ phương trình với m = 1. 
2. Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức , (x, y là nghiệm của hệ phương trình đã cho).
Câu II (6 điểm)
Giải bất phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu III (6 điểm)
1. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm xác định bởi:. Gọi M, N là hai điểm phân biệt thoả mãn: . Chứng minh M, N luôn đi qua một điểm cố định.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2) và đường thẳng d: 4x – 3y – 23 = 0. Hai điểm B và C di chuyển trên d sao cho đoạn BC luôn có độ dài bằng 5. Tìm B và C sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
Câu IV (2 điểm)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng : 
-------------Hết-------------
De9
TRƯỜNG THPT MINH CH¢U ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG 
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN THI: TOÁN 10 – Thời gian làm bài: 180 phút.
 Câu 1. (1 điểm) 
 Cho hàm số có đồ thị (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Dựa 
 vào đồ thị, tìm m để phương trình: có đúng 2 nghiệm.
 Câu 2. (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: có hai nghiệm thỏa mãn: .
 Câu3. (3 điểm)
 1) Giải hệ phương trình: 
 2) Giaûi phöông trình: 
 3)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
.
 Câu 4. (4điểm)
 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là điểm bất kì. Chứng minh rằng:
 . Khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác ABC, tìm vị trí của M để đạt giá trị bé nhất.
 2.)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M và hai đường thẳng , 
 . Gọi A là giao điểm của và .
a. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên , đi qua điểm M và tiếp xúc với.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt , lần lượt ở B và C sao 
cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB.
 3) Trong hệ trục Oxy cho DABC có đường cao hạ từ A và phân giác góc C lần lượt có phương trình . Tìm tọa độ điểm A và điểm C. Phân giác góc C nói trên là phân giác trong hay phân giác ngoài?
 Câu 5. (1 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng:
	De10	 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (4,0 điểm).
1.	Giải phương trình: .
2.	Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .
Câu 2 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình: .
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho là hai số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Câu 4 (3,0 điểm).
1. 	Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
2. 	Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho . Chứng minh đẳng thức sau:
,
trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
3. 	Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm và điểm A có hoành độ dương.
—Hết—