Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán lớp 11 phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi có 01 trang) 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2013 - 2014 
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG 
Ngày thi: 29/3/2014 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1 ( 4,0 điểm) 
 1) Giải phương trình   2 23 4sin 3 4sin 3 1 2 os10 .x x c x    
 2) Tìm x để 2sin ; sin 2 ; 1 sin 7x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
Câu 2 ( 6,0 điểm) 
 1) Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống. Trên sân ga có 5 hành 
khách chuẩn bị lên tàu. Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, 
hai toa có 1 khách lên và một toa không có khách nào lên tầu. 
 2) Tìm hệ số của số hạng chứa 13x trong khai triển 
3
2 151( ) (2 1)
4
f x x x x
 
    
 
 thành đa thức. 
 3) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện 1 2 3 20141 2 3 nP P P nP P      , với nP là số 
các hoán vị của tập hợp có n phần tử. 
Câu 3 ( 2,0 điểm). Tính 
 
2014
21
2014 + 2013
lim
1x
x x
x



Câu 4 ( 6,0 điểm) 
 1) Cho đường tròn  O và dây cung AB thay đổi sao cho AB luôn đi qua điểm I cố định nằm 
trong đường tròn  O (I không trùng với tâm O). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn IA IB IM  . 
 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có 0
a 3
=a ; '= ; 60 .
2
 AB AD AA BAD Gọi M và N lần 
lượt là trung điểm của A'D' và A'B', E là giao điểm của MN và A'C'. 
 a) Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng BE và mặt phẳng (ACC'A'). 
 b) Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). 
Câu 5 ( 2,0 điểm). Cho các số thực dương  ,a b a b và hai dãy số    ;n nu v xác định như sau: 
1 1
*
1 1
;
; . , .
2
n n
n n n n
u a v b
u v
u v u v n 
 

 
   

Chứng minh rằng hai dãy    ;n nu v có giới hạn hữu hạn và lim limn nu v . 
------ HẾT ------ 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.................................. 
Giám thị 1 (Họ tên và ký).............................................................................................................. 
Giám thị 2 (Họ tên và ký).............................................................................................................. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NGÀY THI 29/3/2014 
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG 
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) 
Câu Hướng dẫn giải Điểm 
Câu 1 (4đ) 
1.1. 
(2.0 
điểm) 
Xét sin 0 , .x x k k Thay vào phương trình ban đầu, không thỏa mãn. 
Xét sin 0 , (*).x x k k 
Nhân hai vế của phương trình đã cho với sinx 
0.5 
Phương trình tương đương với 
sin9 sin 2cos10 sin sin11 sin 0x x x x x x 0.5 
5cos6 sin5 0
12 6
x m
x x
x n
, ,m n 0.5 
Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là 5
12 6
x m
x n
, 
5 ; , , .m k m n k 
0.5 
1.2 
(2.0 
điểm) 
2sin ; sin 2 ; 1 sin 7x x x lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 
2sin 1 sin7 2sin 2  x x x 
0.5 
sin 1 sin 7 1 os4x
2 os4x sin 3x os4x
    
 
x x c
c c
 0.5 
os4x=0 c hoặc 
1
sin 3x
2
 0.5 
8 4
2
18 3
5 2
18 3
x k
x k
x k
, .k 
KL. 
0.5 
Câu 2 (6đ) 
2.1 
(2.0 
điểm) 
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. 
Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là 5| | 4 
0.5 
Số cách chọn ba khách để xếp lên cùng một toa là 3
5
10C . 
Số cách chọn một toa để xếp ba người này là 1
4
4C 
0.5 
Số cách xếp hai người (mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là 2
3
A 6 
Suy ra | | 10.4.6 240
A
0.5 
Vậy xác suất cần tìm là 
5
| | 240 15
.
| | 644
AP 0.5 
2.2 
(2.0 
điểm) 
Ta có 6 15 21
1 1
( ) (2x+1) .(2x+1) (1 2x)
64 64
f x . 0.5 
Ta có 
21
21
21
0
(1 2 ) 2k k k
k
x C x 0.5 
Hệ số của số hạng chứa 13x trong khai triển của 21(2x+1) là 13 13212C 0.5 
Vậy hệ số của số hạng chứa 13x trong khai triển thành đa thức của ( )f x là 
13 13 13 7
21 21
1
2 2 26046720
64
C C 
0.5 
2.3 
(2.0 
điểm) 
Ta có 1 1! ( 1)! ( 1)! 1 ( 1)k k kP P k k k k k P , k = 1, 2,... (*) 0.5 
Áp dụng (*) ta có 2 1 1 3 2 2 1, 2 , , n n nP P P P P P P P nP (**) 0.5 
Cộng các đẳng thức ở (**) ta được 1 1 1 22n nP P P P nP . 
Do 1 1P nên 1 1 21 2n nP P P nP 
0.5 
Khi đó điều kiện đã cho thành 1 2014 1 2014 2013.nP P n n 
Kết luận. 
0.5 
Câu 3 (2 đ) 
2.0 
điểm 
   
2014 2014 2013 2012
2 2
1 1 1
2014 +2013 ( 1) 2014( 1) 1 2014
11 1x x x
x x x x x x x
lim lim lim
xx x  
        
 
 
 0.5 
2013 2012
1
( 1) ( 1) ( 1)
1x
x x x
lim
x
 0.5 
2012 2011 2011
1
1 1 ( 1) 1
x
lim x x x x x x 0.5 
2014.2013
2013 2012 1 2027091.
2
 0.5 
Câu 4 (6đ) 
4.1 
(2.0 
điểm) 
E
O
B
A
I
Gọi E là trung điểm của AB khi đó 2IA IB IE suy ra 2IM IE 0.5 
Ta có OE và AB vuông góc suy ra E thuộc đường tròn đường kính OI. 0.5 
Xét phép vị tự tâm I tỉ số 2 biến điểm E thành điểm M; Gọi (C) là đường tròn 
đường kính OI. 
0.5 
Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn (C') là ảnh của đường (C) qua 2IV hay (C') 
là đường tròn tâm O bán kính OI. 
0.5 
4.2a 
(2 .0 
điểm) 
I
O'
O
E
N
M
B'A'
C'
CD
A B
D'
Gọi O là giao điểm của AC và BD 
Suy ra AC vuông góc với BD; CC' vuông góc với BD theo giả thiết. 
D (ACC'A')B . Vậy OE là hình chiếu của BE trên mặt phẳng (ACC'A'). 
0.5 
Góc (BE, (ACC'A')) = góc (BE, OE) = góc BEO. 0.5 
Xét tam giác EOO' vuông tại O', tính được 
15
EO
4
a
. 0.5 
Trong tam giác BEO vuông tại O. Tính được 
2 15
tanBEO=
15
. 
Vậy cosin của góc giữa đường thẳng BE và (ACC'A') là 
15
19
. 
0.5 
4.2b 
(2.0 
điểm) 
Theo chứng minh trên ta có BD vuông góc AC' (1) 0.5 
Gọi O' là trung điểm của A'C'; I là giao điểm của OO' và AC'. 
Chứng minh được tam giác OO'E và tam giác AOI bằng nhau. 
0.5 
Suy ra 0 0OAI=EOO'; OAI+OIA 90 EOO'+OIA 90 
Từ đó chứng minh được EO vuông góc với AC' (2) 
0.5 
Từ (1) và (2) suy ra AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN). 0.5 
Câu 5 (2đ) 
2.0 
điểm 
Ta có 
2 1 1 1
1 1
2 12 2
v u v ab b v
u v a b
u a u
Chứng minh bằng quy nạp 
1 2 1 2
... ; ...
k k
v v v u u u 
0.5 
 1 1 1 1.2
k k
k k k k
u v
u u v v (do 1 1k ku v ) 
1
1
;
.
2
k k k k
k k
k k
v u v v
u v
u u
0.5 
1 2 1 1 1
... ...
k k k k
v v v v u u u . 
Vậy ( )
n
u giảm và bị chặn dưới; ( )
n
v tăng và bị chặn trên nên tồn tại 
lim ; lim
n n
u v 
0.5 
1
.
2 2
n n
n
u v
u 
Vậy lim lim
n n
u v 
0.5 
Lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. 
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. 
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần 
tương ứng.