Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Lương Tài (Có đáp án)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán – Lớp 9
Ngày thi: 03/12/2015
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức: (Với )
a) Rút gọn biểu thức Q;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình: 	
2) Cho hàm số y = f(x) = (m2 – 4m +5) x – 2015. 
a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R? 
b) Không tính hãy so sánh với .
Bài 3: (2 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho là một số chính phương;
b) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 
Bài 4: (3 điểm)
	Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Một điểm A thay đổi trên nửa đường tròn (A khác B, A khác C). Từ A kẻ AH vuông góc với BC . Gọi D, E lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC.
a) Chứng minh rằng : 3 điểm D, A, E thẳng hàng;
b) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O);
c) Tìm vị trí của A trên nửa đường tròn (O) sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số dương thoả mãn:
Chứng minh rằng: 
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính.
============== Hết ==============
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Dưới đây chỉ là hướng dẫn tóm tắt của một cách giải.
Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm tới đó.
 Nếu học sinh có cách giải khác; hoặc có vấn đề phát sinh thì tổ chấm trao đổi và thống nhất cho điểm nhưng không vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
Bài 1: (2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
a) ( 2,0 điểm)
 (ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1)
 Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
Q = 
0,25
Nên Q là số nguyên x – 1 Ư(2) x -1 {-2; -1; 1; 2}
 x {-1; 0; 2; 3}
0,25
Kết hợp với điều kiện x ≥ 0; x ≠ 1 => x{0; 2; 3} 
Vậy với x{0; 2; 3} thì Q nhận giá trị nguyên.
0,25
Câu 2: ( 2,0 điểm)	
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
1
ĐKXĐ : - 4 < x < 1 	
 PT có hai vế không âm, bình phương hai vế ta có:
 1 - x + 4 + x + 2 
 (1 - x)(4 + x) = 4 
 - x2 - 3x + 4 = 4 
 x(x + 3) = 0
 x = 0 hoặc x = - 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = 0; x = -3.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a) Ta có : m2 – 4m +5 = (m - 2)2 + 1 > 0 với mọi m 
nên hàm số y = f(x) = (m2 – 4m +5) x – 2015 đồng biến trên R
0,25
0,25
b)
do 
Þ> (vì hàm số trên đồng biến trên R)
0,25
0,25
Bài 3: (2 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
Đặt 
=17.1
Do m + n > m – n 1 Þ m + n = 17 và m – n = 1 Þ n = 8 
(Tìm hai số biết tổng và hiệu)
Với n = 8 ta có (thỏa mãn)
Vậy n = 8
0,5
0,25
0,25
b)
Ta có (1) 88
Đặt vì x, y nguyên nên a, b nguyên.
Khi đó ta có pt : với a, b nguyên
 (vì b nguyên nên 2b - 1 
Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7 
* Với a = 0, b = 1 ta có : x- y = 0 và xy = 1 
Giải ra ta được x = y = ± 1
Thử lại: x = y =1 ; x = y = -1 đều thỏa mãn
* Với a = 2, b = -3 ta có x – y = 2 (2) và x.y = -3 (3)
Từ (2) suy ra y = x – 2, thay vào (3) ta thu được : 
x2 – 2x + 3 = 0 Û (x – 1)2 + 2 = 0 (pt vô nghiệm)
Vậy các nghiệm nguyên (x,y) của phương trình là: (1,1); (-1,-1)
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4: (3 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
a)
a) DABC có BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nên 
Chứng minh được DABD = DABH Þ
Chứng minh tương tự ta có 
Þ
Þ D, A, E thẳng hàng.
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
+)DABD = DABH Þ 
Chứng minh tương tự Þ 
Þ DB^DE và CE ^ DE Þ DB//CE Þ DBCE là hình thang vuông
+) DABD = DABH Þ AD = AH
Chứng minh tương tự Þ AE = AH Þ AD = AE
Hình thang DBCE có AD = AE; OB = OC nên AO là đường trung bình
Þ AO//DB//CE mà CE ^ DE 
Þ AO ^ DE lại có AÎ (O)
Þ DE là tiếp tuyến của (O)
0,25
0,25
0,25
0,25
c)
SDHE = 
Áp dụng định lý Py – ta - go ta có: AI2 + IH2 = AH2 £ AO2.
SDHE £ AO2 dấu bằng xảy ra khi AH º AO hay AO ^ BC
Vậy SDHE lớn nhất khi AO ^ BC
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5: (1 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
Chứng minh được: .
Suy ra 
Đặt Þ x + y + z = 1
suy ra 
Suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 
0,25
0,25
0,25
0,25