Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Lương Tài (Có đáp án)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán 7
Thời gian làm bài:120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 ( 4,0 điểm).
	 Thực hiện phép tính: 
	a) 	b) 
Bài 2(5,0 điểm).
	a) Tìm x biết:
	b) Cho và . Tính giá trị biểu thức 
	 (Giả thiết A có nghĩa)
	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 3 (3,0 điểm) 
	a) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0
b) Cho hàm số xác định với mọi . Biết rằng với mọi ta đều có . Tính ?
Bài 4 (6,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.
	a) Chứng minh: BD = CE.
	b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh: 
 ADE = CAN.
	c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Tính tỉ số 
Bài 5 (2,0 điểm) 
	Cho ba số dương 0 a b c 1. Chứng minh rằng: 
---------- Hết ----------
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..............................................; Số báo danh..............
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP HUYỆN 
Năm học 2015-2016
Môn thi: Toán 7
Bài
Nội dung trình bày
Thang điểm
1
(4đ)
a) 
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
b) = 
0,5 điểm 
= 
0,5 điểm
= 
0,5 điểm
= = 
0,5 điểm
2
(5đ)
a) 
 + =
 + = 
0,25 điểm
 = 2
0,25 điểm
 x - = 2 hoặc x - = -2 
0,25 điểm
* Với x - = 2 x = 2 + x = 
0,25 điểm
* Với x - = -2 x = -2 + x = 
0,25 điểm
Vậy x 
0,25 điểm
b) Ta có (1)
0,25 điểm
 (2)
0,25 điểm
Từ (1) và (2)
0,25 điểm
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
0,75 điểm
0,5 điểm
c) Ta có 
1,0 điểm
Dấu bằng xảy ra khi (2010 - x)(x + 10) ≥ 0 -10x2010
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 2020 khi -10x2010
0,5 điểm
3
(3đ)
a) Từ : x - 2xy + y = 0 => 2x - 4xy + 2y = 0 
 => 2x - 4xy + 2y - 1 = -1 
0,25 điểm
=> 2x(1 - 2y) - (1 - 2y) = -1
0,25 điểm
=> (1-2y)(2x-1) = -1 => (2y-1)(2x-1) = 1
0,25 điểm
Vì x,y là các số nguyên nên 2y -1 và 2x-1 là các số nguyên. Do đó ta có các trường hợp sau :
0,25 điểm
Hoặc 
0,25 điểm
Vì x, y là các số nguyên nên cặp số (x ; y) thoả mãn điều kiện đầu bài là: (0; 0) và (1; 1)
0,25 điểm
b) Với mọi ta đều có nên:
+ Tại x = 2 ta có: (1)
0,5 điểm
+ Tại ta có: (2)
0,5 điểm
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có 
Vậy f(2) = 
0,5 điểm
4
(6đ)
 Vẽ hình, ghi giả thiết - kết luận đúng 
0,5 điểm
a) Chứng minh được = (cùng phụ với góc BAC)
0,5 điểm
Chứng minh được ABD = AEC (c.g.c)
1,0 điểm
=>BD = CE (hai cạnh tương ứng)
0,5 điểm
b) Chứng minh được CMN = BMA (c.g.c)
0,5 điểm
=> CN = AB và = 
0,25 điểm
 = + - = 900 + 900 - = 1800 - (1)
0,25 điểm
 = + = + = 1800 - (2)
0,25 điểm
Từ (1) và (2) => = 
0,25 điểm
Chứng minh được ADE = CAN (c.g.c)
0,5 điểm
c) Từ ADE = CAN => = ( hai góc tương ứng)
0,25 điểm
Mà + = 900 nên + = 900
=> + = 900 => = = 900
0,25 điểm
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AID và AIE vuông tại I ta có
AD2 – DI2 = AE2 – EI2 (=AI2)
0,5 điểm
 => AD2 + EI2 = AE2 + DI2 
0,25 điểm
=> =1
0,25 điểm
5
(2đ)
Vì nên: a - 1 ≤ 0; b - 1 ≤ 0
Tương tự: ; 
Do đó: 
Suy ra điều phải chứng minh
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
(Học sinh giải cách khác, nếu đúng cho đủ số điểm từng phần tương ứng)