Đề thi chọn dự tuyển học sinh giỏi huyện năm học 2010 – 2011 môn Toán

 PHÒNG GD & ĐT Tư Nghĩa ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
 Trường Nghĩa Thắng NĂM HỌC 2010 – 2011
 MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút )
Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán tuổi thơ 
 Tên : Trương Quang An
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
 Điện thoại : 01208127776
 Bài 1 : ( 4 điểm ) 
 a , Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n5 - n 10
 b , Giải phương trình : x2 + x + 12 = 36
Bài 2 : ( 6 điểm ) 
 a, Giải hệ phương trình : 
 b, Cho 3 số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = 3 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 A = 
Bài 3 : ( 5 điểm ) 
 a , Tìm một nghiệm của đa thức Q ( x ) = x 3 + a x2 + b x + c .
 Biết rằng đa thức có nghiệm và 2014a + 2015b + 2016c = - 
 b, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : 
 P = 
 Bài 4 : ( 5 điểm ) 
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm
 Có BAC = 600 , đường cao AH = 3 cm .
 a, Tính diện tích tam giác ABC .
 b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là điểm đối xứng 
 của P qua các đường thẳng AB và AC . Xác định vị trí của điểm P sao cho 
 độ dài MN đạt giá trị lớn nhất . Tính độ dài lớn nhất đó .
_____________________HẾT ___________________________
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm .
ĐÁP ÁN TÓM TẮT VÀ BIỂU ĐIỂM 
BÀI
Ý
 NỘI DUNG
ĐIỂM
 1
4 đ
a
2 đ
Ta có : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 
 0,25 đ
 = ( n – 1 ) n ( n+1 ) ( n2 + 1 ) 2 ( 1 )
 ( Vì ( n – 1 ) n là hai số tự nhiên liên tiếp )
0,5 đ
Mặt khác : n5 - n = n ( n4 – 1 ) = n ( n2 – 1 ) ( n2 + 1 ) 
0,25 đ
+ Nếu n = 5k thì n5 - n 5 ( 2 )
0,25 đ
+ Nếu n = 5k 1 thì n2 - 1 = (5k 1)2 – 1 = 25k2 10k 5 
 n5 - n 5 ( 3 )
0,25 đ
+ Nếu n = 5k 2 thì n2 + 1 = (5k 2)2 + 1 = 25k2 20k + 5 5 
 n5 - n 5 ( 4 )
0,25 đ
Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ( 3 ) và ( 4 ) n5 - n 10 với 
0,25 đ
b
2 đ
 Điều kiện : x -1 
0,25 đ
Đặt t = 0 x = t2 - 1 
0,25 đ
 Phương trình đã cho trở thành : t4 - t2 + 12t – 36 = 0
0,25 đ
 t4 – ( t – 6 )2 = 0
0,25 đ
 ( t - 2 ) ( t + 3 ) ( t2 – t + 6 ) = 0
0,25 đ
( Vì t2 – t + 6 = ( t- )2 + với t
0,25 đ
Với t = 2 x = 3 ( thỏa mãn ) 
0,25 đ
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
0,25 đ
2 
a
3đ
Điều kiện xy 0	 
0,25 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
Giải ( 1) ta được ; Giải ( 2) ta được 
0,5 đ
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : ( 1 ;2 ) , ( 2 ; 1 ) , ( 1 ; ) , ( ; 1 )
0,25 đ
b
3đ
Ta có : ( 1) 
 ( Vì )
1,0 đ
Tương tự : ( 2 )
0,5 đ
 ( 3 )
0,5 đ
Cộng hai vế của ( 1 ) , ( 2 ) và ( 3 ) ta được A 
0,5 đ
Dấu bằng xảy ra khi 
0,25 đ
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A = khi x = y = z = 1
0,25 đ
Bài 3 : 
a
2đ
 Từ 2014a + 2015b + 2016c = - + a + 2b + 4c = 0 
 0,5 đ
 Chia cả hai vế cho 4 ta được : P () = 0
1,0 đ
 Vậy x = là một nghiệm của đa thức 
0,5 đ
b
3đ
Đặt x = b + c – a ; y = c + a + - b ; z = a + b - c 
0,25 đ
Khi đó : ; 
0,5 đ
Ta có : 2P = 
0,25 đ
	= 
0,5 đ
Áp dụng Bất đẳng thức CoSi ta có :
 2P = 52
0,5 đ
 P 26
0,25 đ
 Dấu “ = ” xảy ra khi 
0,75 đ
Bài 4 :
 Vẽ đúng hình : 0,5 đ
a ,
Goị M là trung điểm của BC ta có : MOC = BAC = 600
( theo tính chất đường kính và dây với tính chất góc ở tâm )
0,5đ
Do OC = R = 2 nên MC = OC . Sin 600 = 
0,5đ
 BC = 2 IC = 2
0,5đ
Vì vậy S= AH . BC = 3
0,5đ
b, 	
Ta có : AK = AN ( = AP ) AKN cân tại A
0,25đ
Lại có : = 2 . 600 = 1200 
0,25đ
 KN lớn nhất khi AK lớn nhất ( Do KN là cạnh đáy của một tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi )
0,5đ
Mà AK = AP 2R KN lớn nhất khi và chỉ khi AP = 2R = 4 hay AP là đường kính 
0,5đ
 B,C lần lượt là trung điểm của PK và PN
0,5đ
 BC là đường trung bình của tam giác PKN KN = 2 BC = 4
0,5đ
Lưu ý : - Các cách giải đúng mà khác với đáp án vẫn cho điểm tối đa .
Hình vẽ sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình ./.
PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG
TRƯỜNG THCS HÀ THÁI
----------------------
 ®Ò xuÊt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Năm học 2009-2010
Môn thi : TOÁN 
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề 
(Đề này gồm 06 câu trên 01 trang)
---------------------------------------
Câu 1 : 3,5điểm
1/ Tính : A = 
2/ Cho a, b, c thoả mãn: 
Tính giá trị biểu thức: P = 
Câu 2: 3,5điểm
1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 
2/ Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì ta có 
Câu 3: 4điểm
1/ / Giải phương trình : 
2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức : 
Câu 4: 5điểm
1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD
Chứng minh hệ thức: 
Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE
 2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB.
Câu 5: 2điểm
	Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
	Chứng minh rằng: sin
Câu 6: 2điểm
 Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x2 + 1 = y2 
------------------------------------Hết-----------------------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC
 HÀ TRUNG 
TRƯỜNG THCS HÀ THÁI
----------------------
 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Năm học 2009-2010
Môn thi : TOÁN 
Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề 
(Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang)
-------------------------------------
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
3,5điểm
1. (2điểm)
Vì > 0; > 0 Þ A > 0 	(1) 
0,25đ
A2 = 
0,25đ
= 
= = 
= 
= 8 + 2 
= (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: A = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2. (1,5điểm)
Từ gt ta có 
0,25đ
suy ra 
0,25đ
Xét hai trường hợp
 * Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a	c + a = -b
P = = = .. = = -1
0,25đ
0,25đ
* Nếu a + b + c 0 a = b = c 
 P = 2.2.2 = 8
0,25đ
0,25đ
Câu 2
3,5điểm
1. (1,5điểm)
Áp dụng BĐT Côsi ta có: x2 + y2 2xy (1)
	y2 + z2 2yz (2)
	z2 + x2 2zx (3)
0,25đ
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx )
0,25đ
 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
 3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 
0,25đ
0,25đ
chia hai vế cho 9 ta được 
 hay 
0,25đ
0,25đ
 2. (2điểm)
Từ 
0,25đ
0,50đ
0,25đ
mà a + b + c = abc 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3
4,0điểm
1. (2,5điểm)
Phương trình (1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1 
* Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có : 
+ Phương trình (1) Û 	 
	 	Û (2) 	
+ Với x > 2, y > 1 Þ (3) 	
Từ (2) và (3) Þ 
 Û 
 Û 	
	 Û 	
Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình 
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5) 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ
0,25đ
2. (1,5điểm)
Hệ phương trình 
Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có:
(m2 + 3)x = 2m + 5. Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có 
 , 
Theo đề bài ta lại có : (*) 
Giải phương trình này ta được m = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,50đ
Câu 4
5,0điểm
1. (3,0điểm)
 a. (2,0điểm)
a. Đặt AC = b; AB = c Ta có SABC = bc
 bc = 2 SABC = 2 SABD + 2SADC 
 = AD.AB.sin450 + AC.AD.sin450
 = ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450
Suy ra bc = ( b + c )AD. = ( b + c ). 
 = 
 = 
 Vậy (đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b. (1,0điểm)
Ta có bc = 2 SABC = 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 
 = ( b – c )AE. bc = ( b – c )AE. = ( b – c ) AE. 
 = 
 Vậy hay 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
B
C
2. (2,0điểm)
Kẻ AM AC, M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2
Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC
 (2)2 = x.(2x + 3)
 2x2 + 3x – 30 = 0 
 ( 2x – 5)(x + 4) = 0
 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2)2 = 64 – 20 = 44
 AC = = 2cm AB = 2cm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
2,0điểm
Hình vẽ
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và CN Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có
sinMAB = sin = BM = c.sin
sinNAC = sin = CN = b. sin
Do đó BM + CN = sin( b + c)
Mặt khác ta luôn có BM + CN BD + CD = BC = a
Vì thế sin( b + c ) a ( vì sin < 1)
Do b + c nên 
 hay sin (đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 6
2,0điểm
Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2 x2 = 
 vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) 
 suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3 
 Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5 
 do x2 nên (y2 -1)(y+2) , 
 hoặc y 
 do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0 
 Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
CHÚ Ý : 
 - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó.
 - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó. 
----------------------------------HẾT-------------------------------------
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Môn : Toán 9
Thời gian: 120’
Câu 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca ( với mọi a, b, c)
b. ≥ + + ( Với a>0; b>0; c>0)
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a. 
b. 
Câu 3: Cho ΔABC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h góc ở đáy bằng α. Chứng minh rằng: 
 SABC= 
Câu 4: Cho đường tròn (O), dây cung AB cố định. M là một điểm chuyển động trên cung AB. Qua trung điểm K của đoạn MB kẻ KP AM. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung AB thì KP luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Hết
 	 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ GỢI Ý ĐÁP ÁN
Câu 1: 
a.	a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca (1điểm)
 a2 + b2 +c2 - ab – bc - ca ≥ 0
 2a2 + 2b2 +2c2 -2ab –2bc - 2ca ≥ 0
(2a2 -2ab+ b2 )+(b2 -2bc + c2 )+ (a2- 2ca +c2 ) ≥ 0
 (a-b)2 + (b-c)2 +(a-c)2 ≥ 0 ( BĐT đúng)
Do đó a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc+ ca là bất đẳng thức đúng.
b. Theo câu a ta có:
 a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + a4c4 = (a2b2)2 + (b2c2)2 +(c2a2)2 ≥ (a2b2)2(b2c2) + (b2c2)(c2a2) +(a2b2)2(c2a2) = a2b2c2(a2 + b2 +c2 ) ≥ a2b2c2(ab +bc+ ca) (1.5 điểm)
Do đó ≥ 
Câu 2 (3điểm) a. A = = 1 ( 1.5 điểm)
 	 b. (1.5 điểm)
= 
= 
= 
= x4+2 – x2
Câu 3: Hình vẽ 0,5 điểm, chứng minh đúng 1,5 điểm ( 2điểm)
A
E
B
C
H
h
Kẻ BE AC
ΔBEC vuông ở E, ta có:
Sinα = sinC = = => BC =
Kẻ đường cao AH thì 
HB = HC = BC = 
Trong Δ vuông AHC thì
	AH = HCtgα = tgα =
SΔABC = BC.AH= .=
Câu 4: hình vẽ (0,5điểm); chứng minh đúng (2điểm) (2,5điểm)
M
B
P
A
K
IK
Tia AO cắt (O) tại A1 thì A1 là điểm cố định
O
MA1// KP ( vì cùng vuông góc với AM)
A1
PK cắt A1B tại I thì KI là đường trung bình của ΔMBA1 
nên I là trung điểm BA1. 
Do đó điểm I cố định
Vậy M di chuyển trên cung AB thì đường thẳng PK luôn luôn đi qua một điểm cố định là I.