Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán 7

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 7
Năm học 2016 - 2017
Bài 1: (2đ) Thực hiện phép tính:
 a) A = 
 b) TÝnh 
Bài 2(2đ) : a) Chứng minh rằng: 
 Nếu Thì 
 b) Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : 
 ( n là số tự nhiên)
 và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Bài 3: (2đ) Tìm x biết
 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 b) 	
Bài 4 : (3đ) Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : 
 a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
 c) Tìm x, y biết : 
Bài 5 (2đ) a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
 và 
Bài 6: (2đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
 a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
Bài 7 (3đ) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A
Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 8 : (2đ) a) Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1)
 Chứng minh rằng : p2 = n + 2 
 b) Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
HƯỚNG DẪN chấm
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = .
 = 
HD : a) Từ 
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : 
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x( 1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013
 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
 Từ 
HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
 (2m -1)(2n – 1) = 1 
 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 
Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp :
 + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9
 + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
 HD : ta có với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y 
 Suy ra : với mọi x,y . Mà 
HD : a) Từ 5 ( x + y) = xy (*) 
 + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có Ư(5) , từ đó tìm được y, x
 b) a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)
 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1 - 1 không chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2
HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
 Do ( x - 1)2 0 với mọi x , nên P(x) 2010 . Vậy Min P(x) = 2010 
khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1
 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 - 3500 với mọi x 
 Vậy Min Q(x) = -3500
 Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0)
HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x. + ) + ( c - ) 
 = a( Vậy Min P(x) = khi x = 
 HD : + Nếu m + n chia hết cho p do p là số nguyên tố và m, n N* 
 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 
m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) 
 Vậy p2 = n + 2
HD : Đặt A = 
 tại x = 2012 thì A = 2011
 - Xét TH góc A < 900 
 a) Để cm ∆ ADE cân tại A 
 cần cm : AD = AH = AE
( Áp dụng t/c đường trung trực)
b) Dự đoán CI IB , BK KC
 Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK
nên HA là tia phân giác trong. Do nên HC
là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB IC , Chứng minh tượng tự 
 ta có BK KC
 - Xét TH góc A>900
*Khai thác bài toán : 
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có