Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh lớp 9 – vòng 1 năm học 2015 – 2016 - Môn: Toán

PHÒNG GDĐT HOÀNG MAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
 LỚP 9 – VÒNG 1
NĂM HỌC 2015 – 2016 - Môn: TOÁN
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2, 0 điểm)
a) Giải phương trình : .
b) Chứng minh rằng: Nếu a, b,c thỏa mãn a+b+c = 2015 và .
 thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015.
Câu 2 (3, 0 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: .
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: chia hết cho 9.
c) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện 0<x<yz<1 và 3x+2y+z 4.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Câu 3 (2, 0 điểm):
a) Cho x,y,z thỏa mãn : x(x-1)+y(y-1)+z(z-1).
Chứng minh rằng : x+y+z
 	b) Tìm số nguyên dương n để tổng là số chính phương.
Câu 4 (1,0 điểm)
 	Cho hình thoi ABCD với góc BAD bằng 120 .Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15 và cắt cạnh BC tại M,cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh 
.
Câu5 (2,0 điểm)y d
Cho tam giác ABC vuông A, AB=AC=a. Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và EAB; FAC.
a) Tính góc MCF.
b) Từ M vẽ đường thẳng MNEF (NEF). Chứng minh rằng MN luôn đi qua một cố định. 
---- Hết ----
Họ và tên thí sinh: .................................................................SBD: ..................
(Học sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
PHÒNG GDĐT HOÀNG MAI
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đề thi gồm 04 trang)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
 LỚP 9 – VÒNG 1
NĂM HỌC 2015 – 2016 - Môn: TOÁN
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu
Đáp án
Thang điểm
1
GPT đã cho tương (x
 hoặc 
 hoặc x=15
Từ gt suy ra 
=0
a+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0 .
Nếu a+b=0 mà a+b+c=2015 suy ra c=2015
Nếu b+c=0 mà a+b+c=2015 suy ra a=2015
Nếu c+a=0 mà a+b+c=2015 suy ra b=2015
 Vậy một trong 3 số a,b,c có một số bằng 2015
0,25 
0,25
0,25 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a) Ta có:
 =
 =+
 =(
b) Số tự nhiên n khi chia cho 3 có số dư có thể là 0,1,2 nên n xảy ra một
 trong 3 trường hợp: n=3k,n=3k+1,n=3k+2 (k).
 Nếu n=3k ta có: 
 Nếu n=3k+1 ta có: 4
	=4.63m+45k+18
 Nếu n=3k+2 ta có: 
c) 
Đặt A=.
Từ 3x+2y+z 4 và x>0 suy ra (1)
Mặt khác ,do 0<x<yz<1 nên:
 2y(y-x)2(y-x) (2)
 z(z-x) z-x (3)
Cộng theo từng vế của (1), (2),(3) ta có:
 A x+2y+z.
Áp dụng BĐT Bu –nhi- a-cốp –xki ta có:
 A(x+2y+z)=
 Nên A.
A= khi x= ; y=z=1.
Vậy giá trị lớn nhất của A là 
0,25 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a) Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
 (x+y+z)
 Theo gt :
 Từ đó suy ra :
 Đặt A=x+y+z ta có: 
Đặt (1) với k nguyên dương
Ta có (1) 
 (2)
 Từ (2) suy ra (2k)>(
 (do k,n nguyên dương)
 .
 Thay vào (1) ta được n=3 thỏa mãn đề bài (k=11)
0,25 
0,25 
0,25
0,25
0,25 
0,25
0,25
0,25
4
Trên DC lấy điểm K sao cho góc KAN=90, suy ra góc DAK=15.
 Từ đó suy ra AK=AM (1)
Hạ AH Xét tam giác vuông KAN có:
 (2) 
Mặt khác xét vuông có góc D bằng 60 nên =
 Do đó AH=AB (3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
 a) Ta có ME+MF=a; 
 Mặt khác AF+FC=a; ME=AF
 Suy ra MF=FC 
 Xét tam giác MFC có góc MFC bằng 90 và MF=FC
 Suy ra tam giác MFC vuông cân góc MCF bằng 45
Vẽ hình vuông ABDC suy ra D là một điểm cố định.
Ta có MNEF suy ra góc NMF= góc MEN (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Gọi H là giao điểm của FM với BD .Ta có HMD=MEF (c.g.c)
góc DMH=góc MEN
Từ đó suy ra góc DMH=góc NMF 
M,N,D thẳng hàng. Suy ra đường thẳng MN đi qua một điểm cố định D.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25