Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Khối 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Đức Thọ (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
	a) 
	b) với xy > 0; x ¹ y
Bài 2: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Bài 3: Giải các phương trình 
	a) 	b) 
Bài 4: Cho DABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H Î BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
	a) Chứng minh rằng DBEC ~ DADC. Tính BE theo m = AB
	b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng DBHM ~ DBEC. Tính 
	c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng 
Bài 5: 	a) Cho và xy > 0
	Tìm GTLN của 
	b) Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
Bài giải của Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn
Bài 1: 	a) Đặt 
	. Do đó A = 1 
	b) 
	Xét các trường hợp x y > 0 và y > x > 0 ta đều được
Bài 2: 	Cách 1: 
	(x + 3)(x + 4) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên không thể là 1 số chính phương
	Dó đó Từ đó ta tìm được (x; y) Î {(-3; 3); (-4; 4)}
	Cách 2: 
	 ta có 	 
Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x ¹ -1. Đặt và . 
Ta có 
	Do đó . Với 
Với , vô nghiệm
	Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2}
	Cách 2: 
	Từ đó ta tìm được tập nghiệm S = {1; 2}
b) 
Ta có x = 2013, x = 2014 là 2 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh 2 nghiệm này là duy nhất
Xét x < 2013 
Xét 2013 < x < 2014 
Xét x > 2014 
Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014
Bài 4: a) Xét DEDC và DBAC có 
Þ DEDC ~ DBAC (g – g) 
Xét DBEC và DADC có 
 Þ DBEC ~ DADC (c – g - c)
Þ . Mặt khác AH = HD (gt) nên 
Þ DAEB vuông cân tại A. 
Do đó 
b) Xét DAHB và DCAB có Þ DAHB ~ DCAB (g – g)
 (Vì BE = 2BM). Xét DBHM và DBEC có Þ DBHM ~ DBEC (c – g - c) 
c) Xét DAHC và DBAC có Þ DAHC ~ DBAC (g – g) (1)
Mặt khác DAEB vuông cân tại A có AM là trung tuyến thì AM cũng là phân giác hay AG là đường phân giác của DABC. Suy ra (2). Từ (1) và (2) ta có:
 (Vì HD = AH) 
Bài 5: a) 
	Mà xy > 0 do đó x, y < 0
	Áp dụng BĐT CauChy ta có nên xy ≤ 1, do đó 
	Vậy , GTLN của M là -2. Đạt được khi x = y = -1
b) Cách 1: Ta có: 
	 luôn đúng. 
Do đó . Chứng minh tương tự ta được
Mặt khác: Vai trò a, b, c như nhau nên giả sử 
	Từ đó suy ra . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
	Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhia mở rộng ta có
	Mặt khác tương tự 
	. Suy ra 
Dự đoán: Mỗi câu 1 đ theo thang điểm 10 và mỗi câu 2 đ theo thang điểm 20