Đề kiểm tra học sinh giỏi vòng 2 lớp 9 Quận 6 (2014-2015) môn Toán

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) 
(NGÀY THI: 26/12/2014) 
Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và 
1 1 1
0
a b c
   
Chứng minh: 
2 2 2
bc ca ab
3
a b c
   
Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau: 
a)      2x 4 x 6 x 2 x 12 25x     
b) 
2
x
3x 2 1 x
3x 2
   

Bài 3: ( 3 điểm) Giải hệ phương trình: 
 
 
2 2
2
2 2
x xy y 3 x y
x xy y 7 x y
    

   
Bài 4: (3 điểm) Cho x > 0, y > 0 và 
2 2
x y 1  
Chứng minh :    
1 1
S 1 x 1 1 y 1 3 2 4
y x
   
          
   
Bài 5: (3 điểm) Cho a, b là hai số nguyên. 
Chứng minh rằng nếu  
2
5 a b ab  chia hết cho 441 thì ab cũng chia hết cho 441. 
Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đường phân giác trong góc A của ABC (D thuộc đoạn BC). Trên 
đoạn AD lấy hai điểm M, N sao cho ABN CBM . BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM tại 
điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN tại điểm thứ hai F. 
a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp. 
b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng. 
c) Chứng minh rằng: BCF ACM . Từ đó suy ra ACN BCM 
  HẾT   
ĐỀ KIỂM TRA 
HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 
Quận 6 (2014-2015) 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) 
(NGÀY THI: 26/12/2014) 
Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và 
1 1 1
0
a b c
   
Chứng minh: 
2 2 2
bc ca ab
3
a b c
   
Ta có: 
3 3
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 3
      
                  
      a b c a b c ab a ba b c
3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 3
3 3 3
   
                 
  
abc abc abc bc ca ab
ab c abca b c a b c a b c a b c
Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau: 
a)      2x 4 x 6 x 2 x 12 25x     
     2x 4 x 6 x 2 x 12 25x     
       2 2 2x 10x 24 x 14x 24 25x 
Đặt   2t x 2x 24 . Khi đó., phương trình trở thành: 
                  2 2 2 2 2 2t 12x t 12x 25x t 144x 25x t 169x 0 t 13x t 13x 0 
TH 1: 
 
             2 2
15 129 15 129
t 13x 0 x 2x 24 13x 0 x 15x 24 0 x hay x
2 2
TH 2:                2 2t 13x 0 x 2x 24 13x 0 x 11x 24 0 x 3 hay x 8 
Vậy 
   
   
  
15 129 15 129
S ; ; 3; 8
2 2
b) 
2
x
3x 2 1 x
3x 2
   

Điều kiện: 
2
x
3
pt 
 
       
 
               

2
x 3x 2
1 x x 1 x 2 x 1 3x 2 x 1 x 2 3x 2 0
3x 2
 
 
      
                                            
2
2
x 1
x 1 0 x 1 0
x 1 0 x 1 0 x 2
2 x 0 x 1x 2
x 1x 2 3x 2 0 3x 2 2 x
x 7x 6 03x 2 2 x
x 6
Vậy  S 1 
ĐỀ KIỂM TRA 
HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 
Quận 6 (2014-2015) 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) 
Bài 3: ( 3 điểm) Giải hệ phương trình: 
 
 
2 2
2
2 2
x xy y 3 x y
x xy y 7 x y
    

   
 
 
 
 
                
   
             
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 22 2
x xy y 3 x y x xy y 3 x y x xy y 3 x y
x xy y 7 x 2xy y 2x 5xy 2y 0x xy y 7 x y
 
  
   
 
 
 
 
     
          
    
            
2 2
2 22 2
2 2
x 2y
 Ix xy y 3 x y
x xy y 3 x yx xy y 3 x y
x 2y
x 2y 2x y 0 y 2x
y 2x II
x xy y 3 x y
Giải hệ (I), 
       
      
   
              
22 2 2 2 2 2
x 2yx 2y x 2y
x xy y 3 x y 2y 2y y y 3 2y y 4y 2y y 3y
 
 
  
                    

2
x 0
x 2y
x 2y y 0x 2y
y 0
y y 1 03y 3y x 2
y 1
y 1
Giải hệ (II), 
       
      
   
             
22 2 2 2 22
y 2xy 2x y 2x
x xy y 3 x y x 2x 4x 3xx x 2x 2x 3 x 2x
 
 
  
                       
 
2
x 0
y 2x
y 2x y 0y 2x
x 0
x x 1 03x 3x x 1
x 1
y 2
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
     
  
     
x 0 x 2 x 1
; ;
y 0 y 1 y 2
Bài 4: (3 điểm) Cho x > 0, y > 0 và 
2 2
x y 1  
Chứng minh :    
1 1
S 1 x 1 1 y 1 3 2 4
y x
   
          
   
Ta có : 
   
1 1 1 x 1 y x y 1 1
S 1 x 1 1 y 1 1 x 1 y 2 x y
y x y y x x y x x y
        
                            
        
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, cho 2 số dương, ta có:
1 1 2
x y xy
  
Ta có: 
2 2 1 2x y 2xy 1 2xy 2 2 2
xy xy
        
Do đó: 
1 1
2 2
x y
  
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) 
Đến đây, ta dùng điểm rơi Cô-si, như sau: 
Do vai trò của x, y là như nhau nên ta dự đoán dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y 
mà 
2 2x y 1  nên 
1
x y
2
  
Từ đó, ta có: 
1 1
x x
1 12 2
;cho k 2 k 
21 1 2
2 k k 2
x x
 
   
    
   
  
Trình bày tiếp: 
x y 1 1 1 1 1
S 2 x y
y x 2x 2y 2 x y
      
              
      
x y 1 1 1
2 2 2 x 2 y 2 2
y x 2x 2y 2
1 1
 =2 2 2. 2. 2 4 3 2
2 2
        
     
Vậy    
1 1
S 1 x 1 1 y 1 3 2 4
y x
   
          
   
Bài 5: (3 điểm) Cho a, b là hai số nguyên. 
Chứng minh rằng nếu  
2
5 a b ab  chia hết cho 441 thì ab cũng chia hết cho 441. 
 2 2441 3 .7 ; 3 và 7 là các số nguyên tố 
     
     
   
       
     
    
2 2 2
2 2
2 2
5 a b ab 5 a b 21ab 441 5 a b 21ab 3
5 a b 3 vì 21ab 3 a b 3 a b 3
5 a b 9 mà 5 a b 21ab 9 nên 21ab 9 ab 3
Ta có: a b 3 và  ab 3 a 3 và b 3 ab 9 
Mặt khác, ta còn có              
2 2 2
5 a b ab 7 5 a b 21ab 7 a b 7 vì 21ab 7 
       
2 2
5 a b 49. Mà 5 a b 21ab 49 nên 21ab 49 ab 7 
Ta có: a b 7và  ab 7 a 7 và b 7 ab 49 
Ta có:   ab 9, ab 49, ƯCLN 9,49 441 . Do đó ab chia hết cho 441. 
Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đương phân giác trong góc A của ABC (D thuộc đoạn BC). Trên 
đoạn AD lấy hai điểm M, N sao cho ABN CBM . BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM tại 
điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN tại điểm thứ hai F. 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) 
E
F
D
A
B C
N
M
a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp. 
Ta có:
  
  
 
 




  

BFC BAD 2 góc nội tiếp cùng chắn BN của ABN
BEC CAD 2 góc nội tiếp cùng chắn CN của ABN
BAD CAD AD là đường phân giác của ABC
   BFC BEC tư ù giác BCEF nội tiếp tư ù giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng nhau
b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng. 
Ta có: 
  
 
 


  

CFE CBE 2 góc nội tiếp cùng chắn CE của BCEF
ABN CBE vì ABN CBM
 CFE ABN mà   ABN CFA 2 góc nội tiếp cùng chắn AN của ABN 
nên    CFE CFA tia FE tia FA A, E, F thẳng hàng. 
c) Chứng minh rằng: BCF ACM . Từ đó suy ra ACN BCM 
Tacó:
  
  
 


 

BCF BEF 2 góc nội tiếp cùng chắn BF của BCEF
ACM BEF 2 góc nội tiếp cùng chắn AM của ACM
       BCF ACM BCM MCN ACN MCN BCM ACN 
  HẾT  