Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD & ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018
MÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4,0 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau: 
a) 
b) 
(Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2.
b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên.	 	
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm m để phương trình: vô nghiệm.
b) Giải phương trình: .
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. 
a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC.
b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE 	
c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng. 
d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui. 
Bài 5 (2,0 điểm) 
Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)
Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = . 
–––––––––––––––Hết––––––––––––––––
 Họ và tên thí sinh: .................................................................................
 Số báo danh: .................................................Phòng số:.........................
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 9
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
BÀI
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
a
2.0
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b
2.0
Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta có:
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
 (vì 0 < a,b,c < 1)
0.25
Tính đúng: B = 2
0.25
2
a
2.0
Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x)
0.25
f(x) chia hết cho x – 1 f(1) = 0 
0.25
 a + b = 0 b = –a 	(1)
0.25
f(x) chia hết cho x – 2 f(2) = 0
0.25
8a + 2b = –15	(2)
0.25
Từ (1) và (2) 8a + 2(–a) = –15 a = – b = 
0.25
Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x – 
0.25
Vậy a = –, b = 
0.25
1.0
B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
0.25
B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
0.25
B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2
0.25
B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 
Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên
B là số chính phương 
0.25
3
a
1.5
 ĐKXĐ: 
0.25
0.25
0.25
+ Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí) 
 m = 3 phương trình đã cho vô nghiệm
0.25
+ Xét , phương trình (*) có nghiệm 
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì 
0.25
Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
0.25
B
1.5
 ĐKXĐ: 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
C
1.0
Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta có: 
0.25
Vì x, y, z là các số nguyên dương nên từ (1) x = y = z = 1
0.25
Thử lại : Đúng.
0.25
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y;z) = (1;1;1)
0.25
4
a
2.5
Đặt BH = x (0 < x < 6) BC = x + 6,4
0.25
AB2 = BH.BC 62 = x(x + 6,4) 
0.5
x = 3,6
0.75
BC = 10cm
0.25
AC = 8cm
0.75
b
2.0
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật DE = AH
0.5
Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA
0.5
AH2 = HB.HC AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA 
0.5
AH4 = BD.CE.BC.AH
0.25
AH3 = BD.CE.BC
Vậy DE3 = BD.CE.BC
0.25
c
1.5
Chứng minh , HD = AE
0.5
Gọi giao điểm của NA với HD là M’. 
Ta có: 
0.25
0.25
0.25
M’ trùng M M, A, N thẳng hàng
0.25
d
1.0
Có BM//CN, BD // NE, MD // CE 
 BDM ~ NEC BD/NE = DM/EC 	(1)
0.5
Gọi I là giao của MC với DE DI/EI = DM/EC 	(2)
Gọi I’ là giao của BN với DE DI’/EI’ = BD/NE 	(3)
0.25
Từ (1), (2), (3) DI/EI = DI’/EI’ I và I’ trùng nhau 
Vậy BN, CM, DE đồng qui.
0.25
5
2.0
Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x bậc của đa thức g(x) bằng 4
0.25
Từ giả thiết g(1) = g(2) = g(3) = 0.
0.25
Mà g(x) có bậc 4 nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a là số thực nào đó).
0.25
f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x
0.25
0.5
f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + 4 + a) + 40 
0.25
Vậy f(8) + f(–4) = 2560.
0.25
 *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. 
 *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. 
 *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.