Đề khảo sát học sinh giỏi môn: Toán học 8

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 
MễN : Toỏn 8. Thời gian làm bài: 120 phỳt 
ĐỀ BÀI.
Cõu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức A = 
	a) Rỳt gọn biểu thức A
	b) Chứng minh rằng giỏ trị của A luụn dương với mọi x ≠ - 1
Cõu 2 (3 điểm): 
a) Chứng minh rằng: Với mọi x ẻ Q thỡ giỏ trị của đa thức :
 M = là bỡnh phương của một số hữu tỉ.
b) Giải phương trỡnh 
Cõu 3 (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 cú hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0. 
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Cõu4 (2,5 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc AD. Vẽ hỡnh vuụng MNPQ cú M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng:
a) DE song song với AC
b) DE =DF; AE =AF.
Cõu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: Với 
-----------------------------Hết--------------------------------
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 
MễN : Toỏn 8. Thời gian làm bài: 120 phỳt 
ĐỀ BÀI.
Cõu 1 (2 điểm) : Cho biểu thức A = 
	a) Rỳt gọn biểu thức A
	b) Chứng minh rằng giỏ trị của A luụn dương với mọi x ≠ - 1
Cõu 2 (3 điểm): 
a) Chứng minh rằng: Với mọi x ẻ Q thỡ giỏ trị của đa thức :
 M = là bỡnh phương của một số hữu tỉ.
b) Giải phương trỡnh 
Cõu 3 (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 cú hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0. 
Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Cõu4 (2,5 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc AD. Vẽ hỡnh vuụng MNPQ cú M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng:
a) DE song song với AC
b) DE =DF; AE =AF.
Cõu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: Với 
-----------------------------Hết--------------------------------
B. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
MễN: Toỏn 8
Cõu
Đỏp ỏn
Thang điểm
1
a/ A = = 
 = 
b/ Với mọi x ≠ - 1 thì A = = 
Vì 
1,0
1,0
2
a/ Ta có: M = 
Đặt a = x2 + 10x + 16 
suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
 M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( đpcm)
b/ 
0,5
1,0
0,5
1,0
3
Ta cú: P(x)(x-1), (x-3), (x-5)
Nờn P(x) cú dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đú: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840
0,5
1,0
4
a/ Vẽ hỡnh
a) Chứng minh được:
	 hay 
b) Do nờn 
	 (1)
Tương tự, 
Từ (1) và (2) suy ra 
Mà và 
Nờn 
Ta cú 	 
 AE =AF
0,25
1
0,5
0,25
0,5
5
Gọi vế trỏi là A, ta cú:
Vậy 
1,0