Đề khảo sát chất lượng lớp 12 lần cuối - Năm 2013 môn: Toán - THPT chuyên ĐH Vinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 
TRƯỜNG THPT CHUYấN 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013 
Mụn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phỳt 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số .
2
1



x
xy 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (H) của hàm số đó cho. 
b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (H). Viết phương trỡnh tiếp tuyến d của (H) tại điểm M thỏa 
món IM vuụng gúc với d. 
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh .
2
cos
2
sin)cos23(
2
cos)2cos3(  xxxxx 
Cõu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh ).,(
1233
)2(84 22 






yx
yyx
xxyxy
Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn .d
4
1
0
2
3


 x
x
xI 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, 5.AD a Tam giỏc SAB nằm trong mặt 
phẳng vuụng gúc với đỏy, ,SA a ,
2
aSB  0120 .ASB  Gọi E là trung điểm của AD. Tớnh thể tớch 
khối chúp S.ABCD và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCE theo a. 
Cõu 6 (1,0 điểm). Cho cỏc số dương a, b phõn biệt thỏa món .1222  ba Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 
.
)(8
544
244 baba
P

 
II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) 
a. Theo chương trỡnh Chuẩn 
Cõu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú  1; 3 ,A    5;1 .B Điểm M 
nằm trờn đoạn thẳng BC sao cho 2 .MC MB Tỡm tọa độ điểm C biết rằng 5MA AC  và đường 
thẳng BC cú hệ số gúc là một số nguyờn. 
Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 0,x y z    
  : 2 2 0.x y z    Viết phương trỡnh mặt cầu  S cú tõm thuộc   , cú bỏn kớnh bằng 3, tiếp xỳc 
với   tại M, biết rằng điểm M thuộc   .Oxz 
Cõu 9.a (1,0 điểm). Tỡm số phức z thỏa món .||)1(
)1(
1 zi
zi
iz 


 
b. Theo chương trỡnh Nõng cao 
Cõu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại A, cú trực tõm  3;2 .H  
Gọi D, E là chõn đường cao kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng : 3 3 0,d x y   điểm 
 2;3F  thuộc đường thẳng DE và 2.HD  Tỡm tọa độ điểm A. 
Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  1;3;2 ,A  3;2;1B và mặt phẳng 
  : 2 2 11 0.P x y z    Tỡm điểm M trờn  P sao cho 2 2MB  và 030 .MBA  
Cõu 9.b (1,0 điểm). Tỡm số nguyờn dương n thỏa món 
.
2013
1
12
2...
5
4
4
3
3
2
2
1 2
2
4
2
3
2
2
2
1
2 
 nnnnnn Cn
nCCCC 
---------------------------- Hết -------------------------- 
Ghi chỳ: BTC sẽ trả bài vào cỏc ngày 22, 23/6/2013. Khi nhận bài thi, thớ sinh phải nộp lại Phiếu dự thi. 
Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong Kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng năm 2013! 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
 1 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH 
TRƯỜNG THPT CHUYấN 
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013 
Mụn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phỳt 
Cõu Đỏp ỏn Điểm 
a) (1,0 điểm) 
10. Tập xỏc định: }.2{\ 
20. Sự biến thiờn: 
* Giới hạn tại vụ cực: Ta cú 1lim 

y
x
 và .1lim 

y
x
 Giới hạn vụ cực: 

y
x )2(
lim và .lim
)2(


y
x
Suy ra đồ thị (H) cú tiệm cận ngang là đường thẳng ,1y tiệm cận đứng là đường thẳng .2x 
* Chiều biến thiờn: Ta cú .2,0
)2(
1' 2 

 x
x
y 
Suy ra hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng  2; và  .;2  
0,5 
* Bảng biến thiờn: 
30. Đồ thị: 
Đồ thị cắt Ox tại  ,0;1 cắt Oy tại );
2
1;0( 
nhận giao điểm )1;2(I của hai đường tiệm 
cận làm tõm đối xứng. 
0,5 
b) (1,0 điểm) 
Gọi 2,
2
1; 0
0
0
0 






 x
x
xxM là tiếp điểm. Khi đú phương trỡnh tiếp tuyến tại M là 
2
1)(
)2(
1:
0
0
02
0 





x
xxx
x
yd , hay .0)22()2(: 0
2
0
2
0  xxyxxd 
Suy ra VTCP của d là  1;)2( 20  xud . Ta cú )1;2(I nờn 







2
1;2
0
0 x
xIM . 
0,5 
Cõu 1. 
(2,0 
điểm) 
Do đú IM vuụng gúc với d 0.  duIM 1)2(02
1)2( 40
0
3
0 
 x
x
x 





.1
3
0
0
x
x
Với ,30 x phương trỡnh tiếp tuyến là 2)3(  xy hay .5 xy 
Với ,10 x phương trỡnh tiếp tuyến là )1(  xy hay .1 xy 
Vậy cú hai tiếp tuyến thỏa món bài toỏn là 5 xy và .1 xy 
0,5 
Cõu 2. 
(1,0 
điểm) 
Phương trỡnh đó cho tương đương với 
2
sin
2
sin)cos23(
2
cos)2cos3( xxxxx  
  02sinsin.
2
cos
0
2
sin
2
cos2
2
cos)sin2(
0
2
sin)cos22(
2
cos)sin24(
2
22
2



xxx
xxxx
xxxx
0,5 
x 
'y 
y 
  2 
1 
 
 
 
1 
 
x O 
y 
I 1 
2
1
2 1 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
 2 























.2
2
2
2
2
22
1sin
0
2
cos







kx
kx
kx
kx
x
x
Vậy nghiệm của phương trỡnh là .,2
2
,2  kkxkx  
0,5 
Điều kiện: .
2
1012  yy 
Phương trỡnh thứ nhất của hệ tương đương với 





.2
4
0)2)(4( 2
2
yx
x
xyx 
Với ,4x thế vào phương trỡnh thứ hai ta được 






)12(9)1(
1
1231 2 yy
y
yy






)12(9)1(
1
2 yy
y
 .10310
10310
1
01020
1
2 











 y
y
y
yy
y
0,5 
Cõu 3. 
(1,0 
điểm) 
Với ,22  yx thế vào phương trỡnh thứ hai ta được .12352  yyy (*) 
Áp dụng BĐT Cụsi ta cú 
(*).123)12(525)12(5)12()1((*) 2 VPyyyyyyVT  
Do đú phương trỡnh (*) vụ nghiệm. 
Vậy nghiệm của hệ là .10310,4  yx 
0,5 
Đặt .dd44 222 ttxxtxxt  Khi ,20  tx khi .31  tx Suy ra 
  


3
2
2
)d(4 tt
t
tI 
0,5 
Cõu 4. 
(1,0 
điểm) 
 .33
3
16
3
4)d4(
3
232
3
2 





 
tttt 0,5 
 Áp dụng định lý cụsin trong tam giỏc SAB 
2 2
2 2 0 72 120
4 2 4 2
7. . .cos .a a a aAB a a AB     
Kẻ SH AB tại H. Vỡ    SAB ABCD nờn 
  .SH ABCD Ta cú 
02 . .sin120 21
.
14
SABS SA SB aSH
AB AB
   
Suy ra 
31 21 7 15. . . 5 .
3 14 2 12SABCD
a a aV a  
0,5 
Cõu 5. 
(1,0 
điểm) 
Vỡ ,BC AB BC SH  nờn   .BC SAB Do đú 090CBS  (1) 
Áp dụng định lý Pitago trong cỏc tam giỏc vuụng CED, SAE, SBC ta cú 
22 2
2 2 2 7 5 12
4 4 4
a a aCE CD DE     , 
2 2
2 2 2 2 5 9
4 4
a aSE SA AE a     , 
2 2
2 2 2 2 215
4 4
a aSC SB BC a     . 
Từ đú suy ra 2 2 2.SC SE CE  Do đú 090CES  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra tứ diện SBCE nội tiếp mặt cầu đường kớnh SC. Do đú mặt cầu này cú tõm là trung 
điểm của SC, cú bỏn kớnh bằng 21 .
2 4
SC aR   
0,5 
S 
A 
B C 
D 
E 
a 
5a 
2
a
H 
120
0 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
 3 
Từ giả thiết và ỏp dụng BĐT Cụsi ta cú .2.42242)4(16 2 bababa  Suy ra 
80  ab . Do đú 244
22
244 )(8
5.
8
44
64)(8
544
ba
ab
ba
ba
baba
P






 

 
 .
2
1.
64
5
16
1
2
2
2
2








a
b
b
aa
b
b
a 
Đặt .
a
b
b
at  Khi đú 2t và .
8
1
2
1.
64
5
16
1
2
1.
64
5)2(
16
1 22 




t
t
t
tP 
0,5 
Cõu 6. 
(1,0 
điểm) 
Xột hàm 
8
1
2
1.
64
5
16
1)( 2 


t
ttf trờn ).;2(  Ta cú 
 ,
2
5
8
5)2(0)(';
)2(
1.
64
5
8
1)(' 22 
 ttttf
t
ttf vỡ .2t 
Vỡ 
 
)(lim)(lim
2
tftf
tt
 nờn .
64
27
2
5)(min
);2(







ftf 
Suy ra ,
64
27
P dấu đẳng thức xảy ra khi .4,2  ba 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là ,
64
27
 đạt được khi .4,2  ba 
0,5 
Gọi H là trung điểm MC. Khi đú AH BC và 
.BM MH HC x   
Áp dụng định lý Pitago trong cỏc tam giỏc vuụng ABH, 
AMH ta cú 
 22 2
2 2 2
42 52
325
AHAH x AB
xAH x AM
  

  
 
 

Gọi phương trỡnh đường thẳng BC là 
     2 25 1 0 0 .a x b y a b      
Ta cú    
2 2
06 4
; 4 4 5 12 0
5 12 0
aa b
d A BC a a b
a ba b
 
      
 



0,5 
Cõu 
7.a 
(1,0 
điểm) 
Với 0,a  đường thẳng BC cú hệ số gúc 0k  (thỏa món). Khi đú : 1.BC y  
Với 5 12 0,a b  đường thẳng BC cú hệ số gúc 
5
12
k (khụng thỏa món). 
Ta cú      2 2; 5 : 1 3 25.A R x y     Khi đú tọa độ của C và M là nghiệm của hệ phương 
trỡnh 
   
   
   2 2
1 2;1 , 4;1
4;1 , 2;11 3 25
y C M
C Mx y
 

   
 

 
Vỡ M nằm trờn đoạn thẳng BC nờn  4;1 .C  
0,5 
Vỡ    ;0; .M Oxz M a b  Mặt khỏc    2 2 ;0; .M a b M b b    
Gọi I là tõm của  .S Khi đú  2: 2 ; 2 ; 2 .
1 2 2
x b y z bIM I b t t b t      
 
0,5 
Cõu 
8.a 
(1,0 
điểm) Vỡ    ;2 ;3 .I t b I b b b     Ta cú    9; 3 1.
3
b
R d I b      
Với        2 2 21 : 1 2 3 9.b S x y z        
Với        2 2 21 : 1 2 3 9.b S x y z         
0,5 
 1; 3A  
A 
 5;1B
C H M 
x x x 
5 5 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
 4 
Đặt .0,,, 22  yxyxyixz  Ta cú 
 ziz
i
izzzi
zi
iz )1(||
1
1||)1(
)1(
1






 
 
 
     






















)2(.1
0
)1(0
11
)(
22
22
22
22
2222
2222
yxyx
xy
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yxyxyx
iyxyxyxiyx
0,5 
Cõu 
9.a 
(1,0 
điểm) 
Với ,0x ta cú ,11)2( 2  yyy thỏa món (1). Suy ra .iz  
Với ,0y ta cú ,11)2( 2  xxx khụng thỏa món (1). 
Vậy .iz  
0,5 
Ta cú    2 22 3 2 4D DHD x y      
 2 2 6 4 9 0D D D Dx y x y      (1) 
Vỡ  3 3; .A d A m m   Ta cú 
 . 0AD HD AD HD  
 
        3 3 . 3 . 2 0D D D Dx m x y m y        
 2 2 3 2 7 9 0D D D Dx y mx m y m        (2) 
0,5 
Cõu 
7.b 
(1,0 
điểm) 
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được    6 3 2 7 18 0D Dm x m y m      (3) 
Hoàn toàn tương tự ta cú    6 3 2 7 18 0E Em x m y m      (4) 
Từ (3) và (4) suy ra đường thẳng DE cú phương trỡnh    6 3 2 7 18 0.m x m y m      
Vỡ  2;3 0.F DE m    Do đú  3;0 .A 
0,5 
Nhận thấy    , , 6.A P B P AB   Áp dụng định lý cụsin trong tam giỏc MAB ta cú 
2 2 2 02. . .cos30 2.MA MB BA MB MA    Suy ra 2 2 2 .MB MA AB  Do đú tam giỏc MAB 
vuụng tại A. 
0,5 
Cõu 
8.b 
(1,0 
điểm) 
Ta cú  , 0; 5;5 .AM Pu AB n    
  
 Do đú  
1
: 3 1;3 ;2 .
2
x
AM y t M t t
z t


    
  
Ta cú 2 2 22 2 1.MA t t t       
Với  1 1;2;3 .t M  
Với  1 1;4;1 .t M   
0,5 
Áp dụng cụng thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta cú 
  .,...11 22222212
2 xxCxCxCx nnnnn
n  
Lấy đạo hàm hai vế ta được   .,2...3212 1222232221212 xxnCxCxCCxn nnnnnnn   
Suy ra   .,2...3212 2223322221212 xxnCxCxCxCxnx nnnnnnn   
Lấy tớch phõn trờn  0;1 hai vế của đẳng thức ta được 
    

 
0
1
22
2
33
2
22
2
1
2
0
1
12 d2...32d12 xxnCxCxCxCxxnx nnnnnn
n 
0,5 
Cõu 
9.b 
(1,0 
điểm) 
 .
12
2...
4
3
3
2
2
1)1(
12
)1(2
1
0
122
2
43
2
32
2
21
2
1
0
2
12




















 nnnnnn
n
n
xC
n
nxCxCxCx
n
xn 
Suy ra .
12
1
12
2...
5
4
4
3
3
2
2
1 2
2
4
2
3
2
2
2
1
2 



n
C
n
nCCCC nnnnnn 
Theo bài ra ta cú .1006
2013
1
12
1


n
n
0,5 
A 
C 
: 3 3 0d x y   
B 
 2;3F  D E 
H 
2 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com