Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán - lớp 9

UBND HUYỆN NHO QUAN 
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRỊNH PHONG QUANG 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 
HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 
Môn thi: TOÁN - Lớp 9 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
(Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang). 
Câu 1 (4,5 điểm). 
1. Rút gọn biểu thức sau: 
7 4 3
( 5 2)( 5 2)
3 2
A

   

. 
2. Cho biểu thức: 
21 1 1
P
a a a a a a a
a a a a a a
   
  
 
 với 0, 1a a  . 
a) Rút gọn biểu thức P . 
b) Chứng minh rằng P 4. 
c) Với những giá trị nào của a thì biểu thức 
6
Q
P
 nhận giá trị nguyên? 
Câu 2 ( 5,0 điểm). 
 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng 
1
: 0,5 3d y x  , :
2
7y xd   , 
3
: y mxd  (m là tham số). 
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng 
1
d và đường thẳng 
2
d bằng phép toán. 
b) Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng 
3
d cắt hai đường thẳng 
1
d và 
2
d lần 
lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương? 
2. Giải phương trình sau: 
2
4 4 2( 16 6)x x x x       
3. Cho biểu thức 6 6 2 2 2 2 2 2sin os 3sin . os tan . os cot .sinT x c x x c x x c x x x     
( 0 90
ox  ). Chứng minh rằng giá trị biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị của biến x . 
Câu 3 (2,5 điểm). 
Cho ,a b là các số dương thỏa mãn điều kiện 1a b  . Chứng minh rằng: 
3 4 43 2 378( )
4
B a b a b
ab
      . Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Câu 4 (6,0 điểm). 
Cho đường tròn tâm O cố định, bán kính 1R  . Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp 
đường tròn ( )O , các cạnh àABv AC tiếp xúc với đường tròn ( )O lần lượt tại àH v K . Một 
đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn thẳng ,AB AC lần lượt tại àM v N . 
a) Chứng minh các điểm , , ,A H O K cùng thuộc một đường tròn. 
b) Chứng minh . 2 .HK AO AKOH . 
c) Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN . 
Câu 5 (2,0 điểm). 
Em hãy trình bầy lời giải bài toán sau bằng hai phương pháp khác nhau: 
Tìm các cặp số nguyên tố ( , )x y thỏa mãn phương trình: 
2 22 1x y  . 
.Hết. 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.